与えられた問題は、任意の $3 \times n$ 行列 $A$ に対して、左から掛けることで$A$の第1行と第3行が入れ替わるような基本行列を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、任意の $3 \times n$ 行列 $A$ に対して、左から掛けることで$A$の第1行と第3行が入れ替わるような基本行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

基本行列は、単位行列に対して1つの基本変形を行った行列です。この問題では、第1行と第3行を入れ替えるという基本変形を行います。したがって、3x3の単位行列の第1行と第3行を入れ替えたものが求める基本行列になります。

具体的には、3x3の単位行列は

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

なので、第1行と第3行を入れ替えると、

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

となります。この行列を任意の $3 \times n$ 行列 $A$ に左から掛けると、結果として$A$の第1行と第3行が入れ替わります。

3. 最終的な答え

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$