7人掛けの長椅子と5人掛けの長椅子が合計30脚用意されており、出席者の人数を求める問題です。複数の条件から出席者の人数を絞り込みます。条件は以下の通りです。 * 7人掛けの長椅子だけを使った場合、85人以上が着席できない。 * 7人掛けの長椅子に4人ずつ、5人掛けの長椅子に3人ずつ座らせると、67人以上が着席できない。 * 7人掛けの長椅子に7人ずつ、5人掛けの長椅子に5人ずつ座らせると全員着席でき、5人掛けの長椅子が1脚余る。

1. 問題の内容

7人掛けの長椅子と5人掛けの長椅子が合計30脚用意されており、出席者の人数を求める問題です。複数の条件から出席者の人数を絞り込みます。条件は以下の通りです。

* 7人掛けの長椅子だけを使った場合、85人以上が着席できない。

* 7人掛けの長椅子に4人ずつ、5人掛けの長椅子に3人ずつ座らせると、67人以上が着席できない。

* 7人掛けの長椅子に7人ずつ、5人掛けの長椅子に5人ずつ座らせると全員着席でき、5人掛けの長椅子が1脚余る。

2. 解き方の手順

* 7人掛けの長椅子の数を $x$ とすると、5人掛けの長椅子の数は $30-x$ となります。

* 出席者の人数を $N$ とすると、最初の条件から

$7x < N - 85$

したがって、$N > 7x + 85$ ...(1)

* 2番目の条件から

$4x + 3(30-x) < N - 67$

$4x + 90 - 3x < N - 67$

$x + 90 < N - 67$

したがって、$N > x + 157$ ...(2)

* 3番目の条件から

$N = 7x + 5(30-x-1)$

$N = 7x + 150 - 5x - 5$

$N = 2x + 145$ ...(3)

* (1),(2),(3)より、 $N=2x+145$ を(1),(2)へ代入します。

$2x+145 > 7x + 85$

$60 > 5x$

$12 > x$

$x < 12$ ...(4)

$2x+145 > x+157$

$x > 12$ ...(5)

(4),(5)より、不適である。

上記が成り立たない場合、3番目の条件式 $N = 7x + 5(30-x-1)$ が「5人掛けの長椅子が1脚余る」という条件を厳密に表していない可能性があります。実際には、余る5人掛けの長椅子が1脚であるとは限らず、「1脚以上余る」場合を考慮する必要があります。

$N = 7x + 5(30-x) -5m = 2x+150-5m$ ただし、$m$ は正の整数

$N > 7x + 85$

$2x+150-5m > 7x + 85$

$65-5m > 5x$

$13-m > x$ ...(6)

$N > x + 157$

$2x+150-5m > x + 157$

$x-5m > 7$

$x > 5m+7$ ...(7)

(6),(7)を満たす $x$ と $m$ を探します。

$13-m > 5m+7$

$6 > 6m$

$1 > m$

$m=1$ のとき、$x > 5(1)+7=12$ かつ $x < 13-1=12$ となり、$x$ が存在しません。

3番目の条件から、$N = 7x + 5y - 5$ ただし $x+y=30$

$N= 7x + 5(30-x) - 5 = 2x + 145$

1. $N \geq 7x+86$

2. $N \geq x+158$

$7x+86 \leq 2x+145 \rightarrow 5x \leq 59 \rightarrow x \leq 11.8$

$x+158 \leq 2x+145 \rightarrow x \geq 13$

考えられるのは$x=12$のとき

$N=2(12)+145 = 169$

$x=13$

$N=2(13)+145=171$

$N> 7x+85$ より、 $171 > 7*13+85=176$ これは成り立たない。

$169 > 7*11+85=162$

7人掛けを11脚、5人掛けを19脚利用した場合を考えます。

このとき、7人掛けを全部利用すると77人、5人掛けを全部利用すると95人。合計172人。

$N=77+5(18)=167$ これは成り立たない。

$N=171$ の場合、$2x+145=171$、$x=13$

$171 > 7(13)+85 = 176$ 矛盾

$171 > 4(13)+3(17)+67 = 160$ 問題ない

$4(13)+3(17)+67 = 160$, 残りは$171-160=11$

3. 最終的な答え

171人