ある催し物の出席者用に6人掛けの長椅子と4人掛けの長椅子を合わせて21脚用意した。 いくつかの条件が与えられた上で、出席者の人数を求める。

1. 問題の内容

ある催し物の出席者用に6人掛けの長椅子と4人掛けの長椅子を合わせて21脚用意した。

いくつかの条件が与えられた上で、出席者の人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、変数を定義する。

* 6人掛けの長椅子の数を $x$

* 4人掛けの長椅子の数を $y$

* 出席者の人数を $n$

与えられた条件から、以下の式を立てる。

* 式1: $x + y = 21$

* 式2: $6x > n + 36$ (6人掛けの長椅子だけで6人ずつ座ると、36人以上座れない)

* 式3: $5x + 4y > n + 12$ (6人掛けの長椅子に5人ずつ、4人掛けの長椅子に4人ずつ座ると、12人以上座れない)

* 式4: $6x + 4y = n$ (6人掛けの長椅子に6人ずつ、4人掛けの長椅子に4人ずつ座ると、全員座れて、席の余りもない)

式1より、$y = 21 - x$。これを式4に代入すると、

$6x + 4(21 - x) = n$

$6x + 84 - 4x = n$

$2x + 84 = n$

これを式2に代入すると、

$6x > 2x + 84 + 36$

$4x > 120$

$x > 30$

これはありえない。$x$ は21より小さい必要があるため、式2の不等号の向きが逆である可能性がある。

正しくは、$6x + 36 < n$ (6人掛けの長椅子だけで6人ずつ座ると、36人「未満」が座れない)となると仮定する。

$6x + 36 < n$ に　$n = 2x + 84$を代入すると

$6x + 36 < 2x + 84$

$4x < 48$

$x < 12$

次に式3を利用する

$5x + 4y > n + 12$ に$y = 21-x$ と$n=6x+4y$から$n = 2x + 84$を代入すると

$5x + 4(21-x) > 2x+84+12$

$5x+84-4x > 2x+96$

$x+84 > 2x+96$

$-12 > x$

これも間違いである。

$5x + 4y + 12 < n$と仮定する。

$5x + 4(21-x) + 12 < 2x + 84$

$5x + 84 -4x + 12 < 2x + 84$

$x + 96 < 2x + 84$

$12 < x$

従って、$x < 12$と$x > 12$は両方とも矛盾する。

問題文を確認すると、6人掛けの長椅子だけで6人ずつ座ると「36人**以上**」座れないとある。よって仮定が間違っていた。

再度、式2と式3を確認する。

式2: $6x > n + 36$

式3: $5x + 4y > n + 12$

式4: $6x + 4y = n$

式1: $x + y = 21$

式1を変形し、$y = 21 - x$とする。

式4に代入すると、

$6x + 4(21 - x) = n$

$6x + 84 - 4x = n$

$2x + 84 = n$

式2に代入すると

$6x > 2x + 84 + 36$

$4x > 120$

$x > 30$

しかし、xは最大でも21なので、これも矛盾する。

式3に代入すると

$5x + 4(21 - x) > 2x + 84 + 12$

$5x + 84 - 4x > 2x + 96$

$x + 84 > 2x + 96$

$-12 > x$

xは正の整数なのでこれも矛盾する。

問題文を再度確認する。「6人掛けの長椅子に5人ずつ着席させ、4人掛けの長椅子に4人ずつ着席させると、12人以上の出席者が着席できなかった」という文を、6人掛けの長椅子に5人ずつと4人掛けの長椅子に4人ずつ座らせたときの合計人数が「出席者 - 12人」以下であると解釈する。つまり、

$5x + 4y < n - 12$

$5x + 4(21 - x) < (2x + 84) - 12$

$5x + 84 - 4x < 2x + 72$

$x + 84 < 2x + 72$

$12 < x$

また、6人掛けの長椅子だけで6人ずつ座ると36人以上座れないより

$6x > n + 36$

$6x > (2x + 84) + 36$

$6x > 2x + 120$

$4x > 120$

$x > 30$

これはありえない。

6人掛けの長椅子だけで6人ずつ座ると36人「未満」座れないと解釈すると、

$6x < n + 36$

$6x < (2x + 84) + 36$

$6x < 2x + 120$

$4x < 120$

$x < 30$

この条件ではxは21以下の整数であれば良いので矛盾しない。

仮にx = 20 とすると

$n = 2x + 84 = 40 + 84 = 124$

$5x + 4y < n - 12$

$y = 21-x = 1$

$5(20) + 4(1) < 124 - 12$

$104 < 112$

x = 19 とすると

$n = 2(19) + 84 = 38 + 84 = 122$

$y = 21 - 19 = 2$

$5(19) + 4(2) < 122-12$

$95 + 8 < 110$

$103 < 110$

x=14とすると

$n = 2(14) + 84 = 28 + 84 = 112$

y = 21 - 14 = 7

$5(14) + 4(7) < 112 - 12$

$70 + 28 < 100$

$98 < 100$

x = 13とすると

$n = 2(13) + 84 = 26 + 84 = 110$

y = 21-13 = 8

5(13) + 4(8) < 110-12

65 + 32 < 98

97 < 98

これは正しい。

3. 最終的な答え

110人