不等式 $x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$ を証明する。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を左辺に移項する。

$x^2 + y^2 - 2(x + y - 1) \geq 0$

次に、左辺を展開する。

$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 \geq 0$

左辺を平方完成させる。

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + 2 \geq 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) - 1 - 1 + 2 \geq 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0$

$(x - 1)^2$ および $(y - 1)^2$ は実数の2乗なので、常に0以上である。したがって、それらの和も0以上である。

すなわち、

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0$ は常に成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$ は証明された。