3次正方行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 6 & 5 \\ 3 & 7 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、ある操作を行い単位行列 $E$ に変形します。 ここでは、第1行と第3行を入れ替える基本行列 $T_1$ を左から掛けて $T_1 A = A_1$ とするとき、$T_1$ と $A_1$ を求めます。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 6 & 5 \\ 3 & 7 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、ある操作を行い単位行列 $E$ に変形します。

ここでは、第1行と第3行を入れ替える基本行列 $T_1$ を左から掛けて $T_1 A = A_1$ とするとき、$T_1$ と $A_1$ を求めます。

2. 解き方の手順

基本行列 $T_1$ は、単位行列 $E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ の第1行と第3行を入れ替えることで得られます。

したがって、$T_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ です。

次に、$A_1 = T_1 A$ を計算します。

$A_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 5 \\ 3 & 7 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} (0\times2 + 0\times3 + 1\times1) & (0\times6 + 0\times7 + 1\times2) & (0\times5 + 0\times5 + 1\times2) \\ (0\times2 + 1\times3 + 0\times1) & (0\times6 + 1\times7 + 0\times2) & (0\times5 + 1\times5 + 0\times2) \\ (1\times2 + 0\times3 + 0\times1) & (1\times6 + 0\times7 + 0\times2) & (1\times5 + 0\times5 + 0\times2) \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 7 & 5 \\ 2 & 6 & 5 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$T_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 7 & 5 \\ 2 & 6 & 5 \end{bmatrix}$

ア = 0