以下の連立方程式を解く。 (1) $x + y = -2$ $3x - y = 0$ (2) $\frac{1}{5}x - 0.1y = -0.2$ $3x + \frac{1}{2}y = -\frac{1}{3}$ (3) $x + 2y + z = 3$ $2x + y - 2z = 1$ $-x + 3y + 3z = 0$ (4) $x + 4y + 3z = 7$ $-2x + y + z = 1$ $3x - y - 2z = 2$

1. 問題の内容

以下の連立方程式を解く。

(1)

$x + y = -2$

$3x - y = 0$

(2)

$\frac{1}{5}x - 0.1y = -0.2$

$3x + \frac{1}{2}y = -\frac{1}{3}$

(3)

$x + 2y + z = 3$

$2x + y - 2z = 1$

$-x + 3y + 3z = 0$

(4)

$x + 4y + 3z = 7$

$-2x + y + z = 1$

$3x - y - 2z = 2$

2. 解き方の手順

(1)

一つ目の式から$x = -y - 2$が得られる。これを二つ目の式に代入する。

$3(-y - 2) - y = 0$

$-3y - 6 - y = 0$

$-4y = 6$

$y = -\frac{3}{2}$

$x = - (-\frac{3}{2}) - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$

(2)

一つ目の式を整理する。

$\frac{1}{5}x - \frac{1}{10}y = -\frac{1}{5}$

$2x - y = -2$

二つ目の式を整理する。

$3x + \frac{1}{2}y = -\frac{1}{3}$

$18x + 3y = -2$

一つ目の式から、$y = 2x + 2$が得られる。これを二つ目の式に代入する。

$18x + 3(2x + 2) = -2$

$18x + 6x + 6 = -2$

$24x = -8$

$x = -\frac{1}{3}$

$y = 2(-\frac{1}{3}) + 2 = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$

(3)

一つ目の式から$z = 3 - x - 2y$が得られる。これを二つ目と三つ目の式に代入する。

$2x + y - 2(3 - x - 2y) = 1$

$-x + 3y + 3(3 - x - 2y) = 0$

整理すると

$4x + 5y = 7$

$-4x - 3y = -9$

二つの式を足し合わせると

$2y = -2$

$y = -1$

$4x + 5(-1) = 7$

$4x - 5 = 7$

$4x = 12$

$x = 3$

$z = 3 - 3 - 2(-1) = 2$

(4)

一つ目の式から$x = 7 - 4y - 3z$が得られる。これを二つ目と三つ目の式に代入する。

$-2(7 - 4y - 3z) + y + z = 1$

$3(7 - 4y - 3z) - y - 2z = 2$

整理すると

$9y + 7z = 15$

$-13y - 11z = -19$

一つ目の式に13を掛け、二つ目の式に9を掛ける。

$117y + 91z = 195$

$-117y - 99z = -171$

二つの式を足し合わせると

$-8z = 24$

$z = -3$

$9y + 7(-3) = 15$

$9y - 21 = 15$

$9y = 36$

$y = 4$

$x = 7 - 4(4) - 3(-3) = 7 - 16 + 9 = 0$

3. 最終的な答え

(1)

$x = -\frac{1}{2}, y = -\frac{3}{2}$

(2)

$x = -\frac{1}{3}, y = \frac{4}{3}$

(3)

$x = 3, y = -1, z = 2$

(4)

$x = 0, y = 4, z = -3$