$ \begin{cases} 0.2x - 0.1y = -0.2 \\ 3x + \frac{1}{2}y = -\frac{1}{3} \end{cases} $ を解くこと。そして、解とグラフの関係を確認すること。（この問題は、グラフを書くことと解との関係を確認することを含むので、一旦連立方程式を解くまでとします。）

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 連立方程式

$$

\begin{cases}

0.2x - 0.1y = -0.2 \\

3x + \frac{1}{2}y = -\frac{1}{3}

\end{cases}

$

を解くこと。そして、解とグラフの関係を確認すること。（この問題は、グラフを書くことと解との関係を確認することを含むので、一旦連立方程式を解くまでとします。）

2. 関数 $y = 2x + 10$ と直交する直線 $l$ を考える。このとき、$y = 2x + 10$ と直線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた三角形の面積 $S$ を求めること。

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2. 解き方の手順

### 問題1の解き方

連立方程式を解きます。

まず、連立方程式を簡単にするために、係数を整数にします。

1番目の式を10倍すると、$2x - y = -2$ となります。

2番目の式を6倍すると、$18x + 3y = -2$ となります。

したがって、連立方程式は以下のようになります。

$$

\begin{cases}

2x - y = -2 \\

18x + 3y = -2

\end{cases}

$$

1番目の式から $y = 2x + 2$ となります。

これを2番目の式に代入します。

$18x + 3(2x + 2) = -2$

$18x + 6x + 6 = -2$

$24x = -8$

$x = -\frac{8}{24} = -\frac{1}{3}$

$x = -\frac{1}{3}$ を $y = 2x + 2$ に代入します。

$y = 2(-\frac{1}{3}) + 2 = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$

したがって、連立方程式の解は $x = -\frac{1}{3}, y = \frac{4}{3}$ です。

### 問題2の解き方

1. 直線 $l$ の傾きを求める。$y = 2x + 10$ の傾きは2なので、これと直交する直線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

2. 直線 $l$ の切片を求める。直線 $y = 2x + 10$ と直線 $l$ の交点を求めなくてはならないので、ひとまず直線 $l$ の式を $y = -\frac{1}{2}x + b$ とおきます。

3. $y = 2x + 10$ と $y = -\frac{1}{2}x + b$ の交点を求める。

$2x + 10 = -\frac{1}{2}x + b$

$\frac{5}{2}x = b - 10$

$x = \frac{2}{5}(b - 10)$

$y = 2(\frac{2}{5}(b - 10)) + 10 = \frac{4}{5}(b - 10) + 10 = \frac{4}{5}b + 2$

交点の座標は$(\frac{2}{5}(b - 10), \frac{4}{5}b + 2)$ です。

4. $y=2x+10$ の $x$ 切片を求める。$2x+10=0$ を解くと、$x=-5$。

5. 直線 $l$ の $x$ 切片を求める。$-\frac{1}{2}x + b = 0$ を解くと、$x = 2b$。

6. 三角形の面積を求める。三角形の頂点は $(-5, 0), (2b, 0), (\frac{2}{5}(b - 10), \frac{4}{5}b + 2)$ です。

底辺の長さは $|2b - (-5)| = |2b+5|$。高さは $|\frac{4}{5}b + 2|$

面積は $S = \frac{1}{2}|2b+5||\frac{4}{5}b + 2| = \frac{1}{2}|\frac{8}{5}b^2 + \frac{28}{5}b + 10|$

しかし、直線 $l$ の条件が「$y = 2x + 10$と直交する」しか与えられていないので、$b$を特定できません。この問題は、直線 $l$ が $y = 2x + 10$ と直交するだけで交点の位置は特定できないので、三角形の面積は一意に決まりません。問題文が不十分である可能性があります。

しかし、もし問題文が「$y = 2x + 10$と直交し、$y$軸との交点が(0, 10)を通る直線を$l$とする」というものであれば、$l$の式は $y = -\frac{1}{2}x + 10$となり、$b=10$となります。このとき、$l$のx切片は$x = 20$となり、交点のx座標は$\frac{2}{5}(10 - 10) = 0$、交点のy座標は$\frac{4}{5}(10) + 2 = 10$となります。

底辺の長さは $|20 - (-5)| = 25$。高さは $10$

面積は $S = \frac{1}{2} \times 25 \times 10 = 125$

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3. 最終的な答え

問題1の答え：

連立方程式の解は、$x = -\frac{1}{3}, y = \frac{4}{3}$です。

問題2の答え：

直線 $l$ の情報が不足しているため、三角形の面積は一意に決まりません。もし直線$l$の$y$切片が10の場合、三角形の面積は125です。