ある映画館の入場券には、1300円の大人券、800円の子ども券、2000円の親子ペア券の3種類がある。ある日の入場券の販売額の合計が272900円であり、大人券の販売枚数が親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少なく、販売枚数が最も多いのが親子ペア券、次が子ども券、最も少ないのが大人券であったとき、大人券の販売枚数として正しいのはどれか。

1. 問題の内容

ある映画館の入場券には、1300円の大人券、800円の子ども券、2000円の親子ペア券の3種類がある。ある日の入場券の販売額の合計が272900円であり、大人券の販売枚数が親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少なく、販売枚数が最も多いのが親子ペア券、次が子ども券、最も少ないのが大人券であったとき、大人券の販売枚数として正しいのはどれか。

2. 解き方の手順

大人券の枚数を$x$、子供券の枚数を$y$、親子ペア券の枚数を$z$とする。

文章から以下の3つの式が導かれる。

* $1300x + 800y + 2000z = 272900$ (1)

* $x = \frac{z}{2} - 9$ (2)

* $z > y > x$ (3)

(2)より、$z = 2x + 18$

これを(1)に代入すると、

$1300x + 800y + 2000(2x + 18) = 272900$

$1300x + 800y + 4000x + 36000 = 272900$

$5300x + 800y = 236900$

$53x + 8y = 2369$

$8y = 2369 - 53x$

$y = \frac{2369 - 53x}{8}$

(3)より、$2x + 18 > y > x$

$2x + 18 > \frac{2369 - 53x}{8} > x$

$16x + 144 > 2369 - 53x > 8x$

まず、$16x + 144 > 2369 - 53x$ を解く。

$69x > 2225$

$x > \frac{2225}{69} \approx 32.25$

次に、$2369 - 53x > 8x$ を解く。

$2369 > 61x$

$x < \frac{2369}{61} \approx 38.84$

したがって、$32.25 < x < 38.84$

$x$は整数なので、$x$は33から38の間の整数。

$y = \frac{2369 - 53x}{8}$ にそれぞれ代入して$y$が整数となるものを探す。

$x = 37$ のとき、$y = \frac{2369 - 53 \times 37}{8} = \frac{2369 - 1961}{8} = \frac{408}{8} = 51$

$z = 2x + 18 = 2 \times 37 + 18 = 74 + 18 = 92$

$z > y > x$ より、$92 > 51 > 37$ となるので、$x = 37$は条件を満たす。

3. 最終的な答え

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