2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるためには、2次関数 $y = x^2 + 2mx + 6m - 5$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要がある。これは、2次方程式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 = 0$ が実数解を持たないことを意味する。

2次方程式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = (2m)^2 - 4(1)(6m - 5)$

$D = 4m^2 - 24m + 20$

2次方程式が実数解を持たないためには、$D < 0$ である必要がある。

$4m^2 - 24m + 20 < 0$

$m^2 - 6m + 5 < 0$

$(m - 1)(m - 5) < 0$

この不等式を解くと、$1 < m < 5$ となる。

3. 最終的な答え

$1 < m < 5$