$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ のとき、$\frac{1}{x}$ の値を求め、そこから $x + \frac{1}{x}$ , $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ のとき、$\frac{1}{x}$ の値を求め、そこから $x + \frac{1}{x}$ , $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x}$ を求めます。

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ なので、

$\frac{1}{x} = \frac{2}{3+\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $3-\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

次に、$x + \frac{1}{x}$ を求めます。

$x + \frac{1}{x} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9-2 = 7$

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求めます。

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})(x^2 + \frac{1}{x^2} - 1) = 3(7-1) = 3(6) = 18$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$x + \frac{1}{x} = 3$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$