実数 $a$ に対して、$A = \sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a + 2|$ を簡単にしたい。この式を、$a$ の範囲によって場合分けして計算する。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$A = \sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a + 2|$ を簡単にしたい。この式を、$a$ の範囲によって場合分けして計算する。

2. 解き方の手順

まず、$A$ のルートの中身を整理する。

$9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2(3a)(1) + 1^2 = (3a - 1)^2$

よって、

$A = \sqrt{(3a - 1)^2} + |a + 2| = |3a - 1| + |a + 2|$

次に、$|3a - 1|$ と $|a + 2|$ の絶対値を外すことを考える。

$3a - 1 = 0$ となるのは $a = \frac{1}{3}$ のとき。

$a + 2 = 0$ となるのは $a = -2$ のとき。

よって、$a$ の範囲を以下の3つに分けて考える。

(i) $a > \frac{1}{3}$

(ii) $-2 \le a \le \frac{1}{3}$

(iii) $a < -2$

(i) $a > \frac{1}{3}$ のとき、 $3a - 1 > 0$ かつ $a + 2 > 0$ なので、

$|3a - 1| = 3a - 1$

$|a + 2| = a + 2$

$A = (3a - 1) + (a + 2) = 4a + 1$

(ii) $-2 \le a \le \frac{1}{3}$ のとき、$3a - 1 \le 0$ かつ $a + 2 \ge 0$ なので、

$|3a - 1| = -(3a - 1) = -3a + 1$

$|a + 2| = a + 2$

$A = (-3a + 1) + (a + 2) = -2a + 3$

(iii) $a < -2$ のとき、$3a - 1 < 0$ かつ $a + 2 < 0$ なので、

$|3a - 1| = -(3a - 1) = -3a + 1$

$|a + 2| = -(a + 2) = -a - 2$

$A = (-3a + 1) + (-a - 2) = -4a - 1$

まとめると、

$a > \frac{1}{3}$ のとき $A = 4a + 1$

$-2 \le a \le \frac{1}{3}$ のとき $A = -2a + 3$

$a < -2$ のとき $A = -4a - 1$

ア:3, イ:1, ウ:1, エ:3, オ: 4a+1（選択肢③）, カキ:-2, グ: -2a+3（選択肢⑥）, ケ: -4a-1（選択肢②）

3. 最終的な答え

ア=3, イ=1, ウ=1, エ=3, オ=③, カキ=-2, グ=⑥, ケ=②

$a > \frac{1}{3}$ のとき、 $A = 4a + 1$

$-2 \le a \le \frac{1}{3}$ のとき、$A = -2a + 3$

$a < -2$ のとき、$A = -4a - 1$