7人掛けの長椅子と5人掛けの長椅子が合わせて30脚ある。7人掛けの長椅子だけを使う場合、85人以上が座れない。7人掛けに4人ずつ、5人掛けに3人ずつ座る場合、67人以上が座れない。7人掛けに7人ずつ、5人掛けに5人ずつ座ると全員座れて、5人掛けの長椅子が1脚余る。出席者の人数を求める問題です。

1. 問題の内容

7人掛けの長椅子と5人掛けの長椅子が合わせて30脚ある。7人掛けの長椅子だけを使う場合、85人以上が座れない。7人掛けに4人ずつ、5人掛けに3人ずつ座る場合、67人以上が座れない。7人掛けに7人ずつ、5人掛けに5人ずつ座ると全員座れて、5人掛けの長椅子が1脚余る。出席者の人数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、7人掛けの長椅子の数を $x$ 、5人掛けの長椅子の数を $y$ とします。

長椅子の合計数から、以下の式が得られます。

$x + y = 30$

7人掛けのみを使う場合、座れない人数が85人以上なので、出席者数を $N$ とすると、

$N \ge 7x + 85$

7人掛けに4人ずつ、5人掛けに3人ずつ座らせる場合、座れない人数が67人以上なので、

$N \ge 4x + 3y + 67$

7人掛けに7人ずつ、5人掛けに5人ずつ座ると全員座れて、5人掛けの長椅子が1脚余るので、

$N = 7x + 5(y-1) = 7x + 5y - 5$

$x + y = 30$ より $y = 30 - x$。これを $N$ の式に代入すると、

$N = 7x + 5(30 - x) - 5 = 7x + 150 - 5x - 5 = 2x + 145$

次に、$N \ge 7x + 85$ に $N = 2x + 145$ を代入すると、

$2x + 145 \ge 7x + 85$

$60 \ge 5x$

$12 \ge x$

つまり、$x \le 12$

$N \ge 4x + 3y + 67$ に $y = 30 - x$ と $N = 2x + 145$ を代入すると、

$2x + 145 \ge 4x + 3(30 - x) + 67$

$2x + 145 \ge 4x + 90 - 3x + 67$

$2x + 145 \ge x + 157$

$x \ge 12$

したがって、$x = 12$ となります。

$y = 30 - x = 30 - 12 = 18$

出席者数は、

$N = 2x + 145 = 2(12) + 145 = 24 + 145 = 169$

3. 最終的な答え

169人