この問題は、行列に関する定理の証明の一部です。 (1) 行列の2つの行を入れ替えると、行列式が-1倍になることを証明しています。 具体的には、置換 $\sigma$ を用いて行列式を表し、2つの行を入れ替える操作を置換 $\tau$ で表現し、$\sigma$ と $\tau$ の符号の関係を用いて、行列式の符号が反転することを示しています。

1. 問題の内容

この問題は、行列に関する定理の証明の一部です。

(1) 行列の2つの行を入れ替えると、行列式が-1倍になることを証明しています。

具体的には、置換 $\sigma$ を用いて行列式を表し、2つの行を入れ替える操作を置換 $\tau$ で表現し、$\sigma$ と $\tau$ の符号の関係を用いて、行列式の符号が反転することを示しています。

2. 解き方の手順

画像に示された証明を詳細に説明します。

(1) $n$ 文字の置換 $\sigma$ に対して、置換 $\tau = \sigma (i\ j)$ を定義します。ここで $(i\ j)$ は $i$ と $j$ を入れ替える互換を表します。このとき、$\tau(i) = \sigma(j)$, $\tau(j) = \sigma(i)$, $\tau(k) = \sigma(k)$ ($k \neq i, j$) となります。

(2) $\sigma$ が $S_n$ 全体を動くと、$\tau$ も $S_n$ 全体を動きます。

(3) $\text{sgn}(\tau) = \text{sgn}(\sigma(i\ j)) = - \text{sgn}(\sigma)$ が成立します。互換をかけると置換の符号が変わる性質を利用しています。

(4) 行列式の定義を用いて、左辺の行列式を置換 $\sigma$ を用いて展開します。

$$\text{左辺} = \sum_{\sigma} \text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{i\sigma(i)} \cdots a_{j\sigma(j)} \cdots a_{n\sigma(n)}$$

(5) $\sigma$ を $\tau$ に置き換えます。$\text{sgn}(\sigma) = - \text{sgn}(\tau)$ なので、

$$\text{左辺} = \sum_{\sigma} \text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{i\sigma(i)} \cdots a_{j\sigma(j)} \cdots a_{n\sigma(n)} = \sum_{\tau} - \text{sgn}(\tau) a_{1\tau(1)} \cdots a_{i\tau(j)} \cdots a_{j\tau(i)} \cdots a_{n\tau(n)}$$

(6) 行列の $i$ 行と $j$ 行が入れ替わった行列式を考えると、それは

$$- \sum_{\tau} \text{sgn}(\tau) a_{1\tau(1)} \cdots a_{j\tau(j)} \cdots a_{i\tau(i)} \cdots a_{n\tau(n)}$$

に等しくなります。これは元の行列式の $-1$ 倍に等しいので、右辺となります。

したがって、2つの行を入れ替えると行列式は-1倍になることが証明されました。

3. 最終的な答え

行列の2つの行を入れ替えると、行列式は-1倍になる。