(1) 数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$, $a_{n+1} - a_n = n+3$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$, $a_{n+1} - a_n = n+3$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 1$ を変形して、等比数列の形に持ち込みます。

$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_1 = a_1 + 1 = 3 + 1 = 4$, $b_{n+1} = 2b_n$ となります。

これは初項 $4$, 公比 $2$ の等比数列なので、$b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$ となります。

よって、$a_n = b_n - 1 = 2^{n+1} - 1$ となります。

(2)

階差数列 $a_{n+1} - a_n = n+3$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $\{n+3\}$ となります。

$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+3) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$$

$$= 2 + \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = 2 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 + 5 \cdot 1 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、この式は $n=1$ でも成り立ちます。

したがって、$a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$ となります。

次に、$S_n$ を求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{k^2 + 5k - 2}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n k^2 + 5 \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 2 \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} + \frac{15n^2 + 15n}{6} - \frac{12n}{6} \right)$$

$$= \frac{1}{12} (2n^3 + 18n^2 + 4n) = \frac{n}{6} (n^2 + 9n + 2)$$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n+1} - 1$

(2) $a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$, $S_n = \frac{n(n^2 + 9n + 2)}{6}$