自然数 $n$ に対して、等式 $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、等式 $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n=1$ のとき

左辺は $1^3 = 1$ である。

右辺は $\frac{1^2 (1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$ である。

したがって、$n=1$ のとき、等式は成り立つ。

(2) $n=k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$

が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。つまり、

$1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$

を示す。

(2)の仮定より、

$1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$

$= \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k+1))}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$= \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$

したがって、$n=k+1$ のときも等式は成り立つ。

(1),(2),(3)より、すべての自然数 $n$ に対して、等式 $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、等式 $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ が成り立つ。