(1) 等差数列の第3項が-1, 第8項が14であるとき、初項と公差を求め、さらに第10項を求めよ。 (2) 等比数列の第2項が-8, 第5項が1であるとき、初項と公比を求め、さらに初項から第10項までの和を求めよ。 (3) 異なる3つの実数 $a, b, c$ がこの順で等差数列をなし、$a, c, b$ の順で等比数列をなす。$a=4$ のとき、$c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 等差数列の第3項が-1, 第8項が14であるとき、初項と公差を求め、さらに第10項を求めよ。

(2) 等比数列の第2項が-8, 第5項が1であるとき、初項と公比を求め、さらに初項から第10項までの和を求めよ。

(3) 異なる3つの実数 $a, b, c$ がこの順で等差数列をなし、$a, c, b$ の順で等比数列をなす。$a=4$ のとき、$c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とする ($a$ は初項、$d$ は公差)。

第3項が-1であることから、$a_3 = a + 2d = -1$ ...(1)

第8項が14であることから、$a_8 = a + 7d = 14$ ...(2)

(2) - (1) より、$5d = 15$ よって $d=3$

$d=3$ を (1) に代入すると、$a + 2(3) = -1$ より、$a = -7$

第10項は、$a_{10} = a + 9d = -7 + 9(3) = -7 + 27 = 20$

(2)

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とする ($a$ は初項、$r$ は公比)。

第2項が-8であることから、$a_2 = ar = -8$ ...(3)

第5項が1であることから、$a_5 = ar^4 = 1$ ...(4)

(4) / (3) より、$r^3 = -\frac{1}{8}$ よって $r = -\frac{1}{2}$

$r = -\frac{1}{2}$ を (3) に代入すると、$a(-\frac{1}{2}) = -8$ より、$a = 16$

初項から第10項までの和 $S_{10}$ は、

$S_{10} = \frac{a(1-r^{10})}{1-r} = \frac{16(1-(-\frac{1}{2})^{10})}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{16(1-\frac{1}{1024})}{\frac{3}{2}} = \frac{32}{3}(1-\frac{1}{1024}) = \frac{32}{3} \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{96} = \frac{341}{32}$

(3)

$a, b, c$ がこの順で等差数列をなすので、$2b = a + c$ ...(5)

$a, c, b$ がこの順で等比数列をなすので、$c^2 = ab$ ...(6)

$a=4$ のとき、(5) は $2b = 4 + c$ より $b = \frac{4+c}{2}$

(6) は $c^2 = 4b$ より $c^2 = 4(\frac{4+c}{2}) = 2(4+c) = 8 + 2c$

$c^2 - 2c - 8 = 0$

$(c-4)(c+2) = 0$

$c = 4$ または $c = -2$

問題文に「異なる3つの実数」とあるので、$a \neq c$ でなければならない。

したがって、$c = -2$

3. 最終的な答え

(1) 初項: -7, 公差: 3, 第10項: 20

(2) 初項: 16, 公比: -1/2, 初項から第10項までの和: 341/32

(3) c = -2