連立不等式 $x - 2a \geq -3$ ... (1) $|x + a - 2| < 6$ ... (2) について、先生、太郎さん、花子さんが会話を通して問題を解いていく形式の問題です。空欄を埋める形式で、不等号の選択、数の計算、集合の関係の考察を行います。

1. 問題の内容

連立不等式

$x - 2a \geq -3$ ... (1)

$|x + a - 2| < 6$ ... (2)

について、先生、太郎さん、花子さんが会話を通して問題を解いていく形式の問題です。空欄を埋める形式で、不等号の選択、数の計算、集合の関係の考察を行います。

2. 解き方の手順

(1) a = 0 のとき、不等式(2)は $|x-2| < 6$ となります。

これは $-6 < x - 2 < 6$ と同値なので、各辺に2を足して $-4 < x < 8$ となります。

したがって、オカ = -4, キ = 8 です。

x = 1が不等式(1)を満たさないとき、$1 - 2a < -3$

$-2a < -4$

$a > 2$。したがって、クは > (0)

不等式(1)をxについて解くと、$x \geq 2a-3$。

x = 1が不等式(1)を満たさないとき、$1 < 2a-3$。

$4 < 2a$

$a > 2$。

したがって、ケは < (1)。

どちらの場合も $a > 2$。

したがって、コは > (0)、サは 2 です。

(2) 不等式(2)を変形すると、$-6 < x + a - 2 < 6$。

各辺に2-aを足して、$-6 + 2 - a < x < 6 + 2 - a$。

すなわち、$-a - 4 < x < -a + 8$。

したがって、シ = 4, セ = - , ソ = 8。

不等式(2)の解と、連立不等式(1), (2)の解が一致するとき、A = B (0) が成り立つ。

このとき、$A \subset B$ (4)という関係が成り立つ。

(3) ス：不等式(2)の解 $-a-4 < x < -a+8$ と、不等式(1)の解 $x \geq 2a-3$ が一致するとき、 $A = B$ であるから、$\subset$（４）を選ぶ。

セ：上記より　－

チ：上記より $\subset$ (4)

ツ：連立不等式(1),(2)の解が一致するとき、$A = B$ が成り立つ。不等式(1)の解は $x \geq 2a - 3$ であり、不等式(2)の解は $-a-4 < x < -a+8$ である。したがって、2a-3 = -a-4　かつ　-a+8 は存在しない。

$2a - 3 = -a - 4$ を解くと、

$3a = -1$

$a = -1/3$。

また、$-a+8$ が $-a-4 < x < -a+8$ の右側の範囲を表すことを考えると、$A = B$ になるのは $2a-3 = -a-4$ のときなので、$A=B$ (0) を選ぶ。

$a = -1/3$ を前提として、

$2a-3=-1/3*2-3=-2/3-9/3=-11/3$。

$-a-4=-(-1/3)-4=1/3-12/3=-11/3$。

$-a+8=-(-1/3)+8=1/3+24/3=25/3$

したがって、テト = -11/3、ナ = 25/3

3. 最終的な答え

(1) オカ = -4, キ = 8

ク = 0 (>)

ケ = 1 (<)

コ = 0 (>)

サ = 2

(2) ス = 4 (つ)

セ = -

シ = 4

ソ = 8

タ = 0 (A=B)

チ = 4 ($\subset$)

(3) ツ = 4 ($\subset$)

テト = -11/3

ナ = 25/3