問題1では、与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解き、$x$と$y$の値を求める。問題2では、与えられた行列の逆行列を求め、その要素$a, b, c, d$の値を求める。

1. 問題の内容

問題1では、与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解き、$x$と$y$の値を求める。問題2では、与えられた行列の逆行列を求め、その要素$a, b, c, d$の値を求める。

2. 解き方の手順

**問題1**

クラメルの公式は、連立一次方程式

$a x + b y = e$

$c x + d y = f$

の解を、行列式を用いて求める公式である。

$x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} = \frac{ed - bf}{ad - bc}$

$y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} = \frac{af - ec}{ad - bc}$

(1)

$\begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{5*6 - 8*5}{3*6 - 8*2} = \frac{30 - 40}{18 - 16} = \frac{-10}{2} = -5$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{3*5 - 5*2}{3*6 - 8*2} = \frac{15 - 10}{18 - 16} = \frac{5}{2} = 2.5$

(2)

$\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix}$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 11 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{11*6 - 7*2}{3*6 - 7*2} = \frac{66 - 14}{18 - 14} = \frac{52}{4} = 13$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{3*2 - 11*2}{3*6 - 7*2} = \frac{6 - 22}{18 - 14} = \frac{-16}{4} = -4$

(3)

$\begin{pmatrix} 16 & 5 \\ 3 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix}$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 11 & 5 \\ 2 & 15 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 16 & 5 \\ 3 & 15 \end{vmatrix}} = \frac{11*15 - 5*2}{16*15 - 5*3} = \frac{165 - 10}{240 - 15} = \frac{155}{225} = \frac{31}{45}$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 16 & 11 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 16 & 5 \\ 3 & 15 \end{vmatrix}} = \frac{16*2 - 11*3}{16*15 - 5*3} = \frac{32 - 33}{240 - 15} = \frac{-1}{225}$

**問題2**

行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、

$\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

で与えられる。

$\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{2*7 - 5*2} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{14 - 10} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7/4 & -5/4 \\ -2/4 & 2/4 \end{pmatrix}$

したがって、$a = 7/4 = 1.75$, $b = -5/4 = -1.25$, $c = -2/4 = -0.5$, $d = 2/4 = 0.5$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $x = -5$, $y = 2.5$

(2) $x = 13$, $y = -4$

(3) $x = \frac{31}{45} \approx 0.6889$, $y = -\frac{1}{225} \approx -0.0044$

問題2:

$a = 1.75$, $b = -1.25$, $c = -0.5$, $d = 0.5$