この問題は、2x2行列の行列式を計算し、連立一次方程式の係数行列の行列式を計算して、解が一つだけかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

この問題は、2x2行列の行列式を計算し、連立一次方程式の係数行列の行列式を計算して、解が一つだけかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最初の行列式 $\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & 12 \end{vmatrix}$ を計算します。行列式は $5 \times 12 - 1 \times 10$ で計算できます。

(2) 次の行列式 $\begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 6 & -11 \end{vmatrix}$ を計算します。行列式は $6 \times (-11) - 5 \times 6$ で計算できます。

(3) 連立一次方程式 $x + y = 0$ と $2x + 3y = 0$ の係数行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。行列式は $1 \times 3 - 1 \times 2$ で計算できます。行列式が0の場合、自明な解(0,0)以外の解が存在するか、解が存在しません。行列式が0でない場合、解は(0,0)のみです。

(4) 連立一次方程式 $11x - 7y = 5$ と $5x - 2y = 2$ の係数行列 $\begin{pmatrix} 11 & -7 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。行列式は $11 \times (-2) - (-7) \times 5$ で計算できます。行列式が0でない場合、一意解が存在します。行列式が0の場合、解は存在しないか、無限に存在します。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & 12 \end{vmatrix} = 5 \times 12 - 1 \times 10 = 60 - 10 = 50$

(2) $\begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 6 & -11 \end{vmatrix} = 6 \times (-11) - 5 \times 6 = -66 - 30 = -96$

(3) 係数行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式は $1 \times 3 - 1 \times 2 = 3 - 2 = 1$ 。 行列式は0ではないので、解は(0,0)のみです。

(4) 係数行列 $\begin{pmatrix} 11 & -7 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ の行列式は $11 \times (-2) - (-7) \times 5 = -22 + 35 = 13$ 。 行列式は0ではないので、一意解が存在します。

答え：

* $\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & 12 \end{vmatrix} = 50$

* $\begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 6 & -11 \end{vmatrix} = -96$

* 係数の行列式の値は $1$

* 解は $(0, 0)$ のみ

* 係数の行列式の値は $13$

* 解は 1つだけある