問題1は、クラメルの公式を用いて連立一次方程式の解 $x$ と $y$ を求める問題です。問題2は、与えられた行列の逆行列を計算し、その成分 $a, b, c, d$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、クラメルの公式を用いて連立一次方程式の解 $x$ と $y$ を求める問題です。問題2は、与えられた行列の逆行列を計算し、その成分 $a, b, c, d$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：クラメルの公式

連立一次方程式

$a x + b y = e$

$c x + d y = f$

の解は、

$x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} = \frac{ed - bf}{ad - bc}$

$y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} = \frac{af - ec}{ad - bc}$

で与えられます。

(1) $\begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{5 \times 6 - 8 \times 5}{3 \times 6 - 8 \times 2} = \frac{30 - 40}{18 - 16} = \frac{-10}{2} = -5$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{3 \times 5 - 5 \times 2}{3 \times 6 - 8 \times 2} = \frac{15 - 10}{18 - 16} = \frac{5}{2} = 2.5$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix}$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 11 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{11 \times 6 - 7 \times 2}{3 \times 6 - 7 \times 2} = \frac{66 - 14}{18 - 14} = \frac{52}{4} = 13$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}} = \frac{3 \times 2 - 11 \times 2}{3 \times 6 - 7 \times 2} = \frac{6 - 22}{18 - 14} = \frac{-16}{4} = -4$

(3) $\begin{pmatrix} 16 & 5 \\ 3 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix}$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 11 & 5 \\ 2 & 15 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 16 & 5 \\ 3 & 15 \end{vmatrix}} = \frac{11 \times 15 - 5 \times 2}{16 \times 15 - 5 \times 3} = \frac{165 - 10}{240 - 15} = \frac{155}{225} = \frac{31}{45}$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 16 & 11 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 16 & 5 \\ 3 & 15 \end{vmatrix}} = \frac{16 \times 2 - 11 \times 3}{16 \times 15 - 5 \times 3} = \frac{32 - 33}{240 - 15} = \frac{-1}{225}$

問題2：逆行列

2x2行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

で与えられます。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{2 \times 7 - 5 \times 2} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{14 - 10} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{4} & -\frac{5}{4} \\ -\frac{2}{4} & \frac{2}{4} \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1.75 & -1.25 \\ -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題1:

x = -5, y = 2.5

x = 13, y = -4

x = 31/45, y = -1/225

問題2:

a = 7/4 = 1.75

b = -5/4 = -1.25

c = -2/4 = -0.5

d = 2/4 = 0.5