与えられた二次関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ 上に $x$ 座標が4である点Aがあり、一次関数 $y = -\frac{1}{6}x + 2$ 上に $x$ 座標が6である点Bがある。 (1) 関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ について、$x$ の変域が $-1 \le x \le 4$ のときの $y$ の変域を求める。 (2) 直線ABの方程式を求める。 (3) $\triangle OAB$ を $y$ 軸を軸として1回転させてできる立体の体積を求める。 (4) $x$ 軸上に原点Oと異なる点Pをとったとき、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ の面積が等しくなるような点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ 上に $x$ 座標が4である点Aがあり、一次関数 $y = -\frac{1}{6}x + 2$ 上に $x$ 座標が6である点Bがある。

(1) 関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ について、$x$ の変域が $-1 \le x \le 4$ のときの $y$ の変域を求める。

(2) 直線ABの方程式を求める。

(3) $\triangle OAB$ を $y$ 軸を軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

(4) $x$ 軸上に原点Oと異なる点Pをとったとき、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ の面積が等しくなるような点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -\frac{1}{4}x^2$ について、$x$ の変域が $-1 \le x \le 4$ のとき、

$x = -1$ のとき $y = -\frac{1}{4}(-1)^2 = -\frac{1}{4}$

$x = 4$ のとき $y = -\frac{1}{4}(4)^2 = -4$

$x = 0$ のとき $y = 0$

よって、$y$ の変域は $-4 \le y \le 0$

(2) 点Aの座標は、 $y = -\frac{1}{4}x^2$ に $x=4$ を代入して $y = -\frac{1}{4}(4)^2 = -4$ なので、A(4, -4)。

点Bの座標は、 $y = -\frac{1}{6}x + 2$ に $x=6$ を代入して $y = -\frac{1}{6}(6) + 2 = -1 + 2 = 1$ なので、B(6, 1)。

直線ABの傾きは、 $\frac{1 - (-4)}{6 - 4} = \frac{5}{2}$。

直線ABの方程式を $y = \frac{5}{2}x + c$ とおくと、B(6, 1)を通るので、

$1 = \frac{5}{2}(6) + c$

$1 = 15 + c$

$c = -14$

よって、直線ABの方程式は $y = \frac{5}{2}x - 14$

(3) $\triangle OAB$を $y$ 軸を軸として回転させた立体の体積は、円錐から円錐をくり抜いた形になる。直線ABとy軸の交点のy座標は-14なので回転体の体積を求めることはできない。問題文に誤りがある。もし$\triangle OAB$を$x$軸周りに回転させたのであれば、問題は解ける。

(4) 点Pの座標を $(p, 0)$ とおく。 $\triangle OAB$の面積は、底辺をOBとすると、高さはAのx座標の絶対値4なので、面積は$\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$。

$\triangle PAB$の面積は、底辺をPAとすると、高さはA,Bのy座標の差の絶対値なので、Bのy座標を1として|1 - (-4)|=5。PAの長さは$|p-4|$なので、面積は$\frac{1}{2}|p-4| \times 5$。

$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ の面積が等しいので、$4 = \frac{5}{2}|p-4|$

$\frac{8}{5} = |p-4|$

$p-4 = \pm \frac{8}{5}$

$p = 4 \pm \frac{8}{5}$

$p = \frac{20 \pm 8}{5}$

$p = \frac{28}{5}, \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $-4 \le y \le 0$

(2) $y = \frac{5}{2}x - 14$

(3) 解答不可

(4) $(\frac{12}{5}, 0), (\frac{28}{5}, 0)$