(1) $\frac{2}{x+2} = x+3$ という方程式を解く。 (2) $\frac{2}{x+2} \leq x+3$ という不等式を解く。

1. 問題の内容

(1) $\frac{2}{x+2} = x+3$ という方程式を解く。

(2) $\frac{2}{x+2} \leq x+3$ という不等式を解く。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\frac{2}{x+2} = x+3$ を解く。

まず、分母を払うために両辺に $x+2$ を掛ける。ただし、$x \neq -2$ である。

$2 = (x+3)(x+2)$

$2 = x^2 + 5x + 6$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

$(x+1)(x+4) = 0$

よって、$x = -1$ または $x = -4$

これらは $x \neq -2$ を満たすので、解である。

(2) 不等式 $\frac{2}{x+2} \leq x+3$ を解く。

まず、右辺を左辺に移項する。

$\frac{2}{x+2} - (x+3) \leq 0$

通分する。

$\frac{2 - (x+3)(x+2)}{x+2} \leq 0$

$\frac{2 - (x^2 + 5x + 6)}{x+2} \leq 0$

$\frac{-x^2 - 5x - 4}{x+2} \leq 0$

$\frac{-(x+1)(x+4)}{x+2} \leq 0$

$\frac{(x+1)(x+4)}{x+2} \geq 0$

数直線を書いて、符号を調べる。

$x < -4$ のとき、$(x+1) < 0$, $(x+4) < 0$, $(x+2) < 0$ なので、$\frac{(x+1)(x+4)}{x+2} < 0$

$-4 < x < -2$ のとき、$(x+1) < 0$, $(x+4) > 0$, $(x+2) < 0$ なので、$\frac{(x+1)(x+4)}{x+2} > 0$

$-2 < x < -1$ のとき、$(x+1) < 0$, $(x+4) > 0$, $(x+2) > 0$ なので、$\frac{(x+1)(x+4)}{x+2} < 0$

$x > -1$ のとき、$(x+1) > 0$, $(x+4) > 0$, $(x+2) > 0$ なので、$\frac{(x+1)(x+4)}{x+2} > 0$

また、$x=-1$ および $x=-4$ のとき、$\frac{(x+1)(x+4)}{x+2}=0$ となり、不等式を満たす。

$x = -2$ は分母がゼロになるので、不等式を満たさない。

したがって、$-4 \leq x < -2$ または $x \geq -1$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1, -4$

(2) $-4 \leq x < -2$ または $x \geq -1$