与えられた式 $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、共通因数でくくったり、組み合わせを考えたりして因数分解を試みます。

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y$

$= 4x^2(y - z) + y(yz - 1)$

ここで、$y-z$と$yz-1$に共通な要素がないため、別の方法を試します。項の順序を入れ替えてみます。

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y$

$= 4x^2y - y - 4x^2z + y^2z$

$= y(4x^2 - 1) - z(4x^2 - y^2)$

さらに、$4x^2 - 1$は $(2x)^2 - 1^2$ の形なので、二乗の差の公式が使えます。

$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$

また、$4x^2 - y^2$ は $(2x)^2 - y^2$ の形なので、二乗の差の公式が使えます。

$4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$

元の式に戻ると、

$y(4x^2 - 1) - z(4x^2 - y^2)$

$= y(2x - 1)(2x + 1) - z(2x - y)(2x + y)$

これ以上簡単にはなりません。

最初の式に戻って、項のペアを変えてみます。

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y$

$= (4x^2y - y) + (y^2z - 4x^2z)$

$= y(4x^2 - 1) + z(y^2 - 4x^2)$

$= y(2x - 1)(2x + 1) - z(4x^2 - y^2)$

$= y(2x - 1)(2x + 1) - z(2x - y)(2x + y)$

さらに変形してみます。

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y = 4x^2(y - z) - y(1 - yz)$

$= -4x^2(z - y) +y(zy - 1)$

$= -4x^2(z - y) +y(zy - 1)$

正しい方法ではないことに気づき、もう一度試します。

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y$

$= (4x^2y - y) + (y^2z - 4x^2z)$

$= y(4x^2 - 1) + z(y^2 - 4x^2)$

$= y(2x - 1)(2x + 1) + z(y - 2x)(y + 2x)$

$= y(2x - 1)(2x + 1) - z(2x - y)(2x + y)$

$= y(2x-1)(2x+1) - z(2x+y)(-y+2x)$

もう一度、以下の計算をします。

$y(4x^2-1)+z(y^2-4x^2) = y(2x+1)(2x-1) - z(2x+y)(2x-y)$

$=(4x^2y-y) + (y^2z-4x^2z) = (4x^2y-4x^2z) + (y^2z-y)$

$4x^2(y-z) - y(1-yz)$

$4x^2y - 4x^2z -y + y^2z$

$4x^2y - y - 4x^2z + y^2z = y(4x^2 - 1) - z(4x^2 - y^2) = y(2x+1)(2x-1) - z(2x+y)(2x-y)$

ここで、問題文に間違いがないか確認します。

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y$

$= (y - z)(4x^2) -y + y^2z$

$=(y - z)(4x^2 - y^2)$

3. 最終的な答え

この式は、これ以上きれいに因数分解できません。

$y(4x^2 - 1) + z(y^2 - 4x^2)$が答えの候補です。

しかし、$4x^2-1 = (2x+1)(2x-1)$と$y^2-4x^2 = (y+2x)(y-2x)=-(2x-y)(2x+y)$を代入しても共通因数は現れません。

したがって、

$y(2x+1)(2x-1) - z(2x+y)(2x-y)$

最終的な答えは：

$y(2x+1)(2x-1) - z(2x+y)(2x-y)$