与えられた等式 $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式が $x$ についての恒等式であるから、適当な $x$ の値を代入して $a, b, c, d$ についての連立方程式を作る。

まず、$x=1$ を代入すると、

$1^3 - 1 = a(1-1)(1-2)(1-3) + b(1-1)(1-2) + c(1-1) + d$

$0 = 0 + 0 + 0 + d$

よって、$d = 0$ となる。

次に、$x=2$ を代入すると、

$2^3 - 1 = a(2-1)(2-2)(2-3) + b(2-1)(2-2) + c(2-1) + d$

$7 = 0 + 0 + c + 0$

よって、$c = 7$ となる。

次に、$x=3$ を代入すると、

$3^3 - 1 = a(3-1)(3-2)(3-3) + b(3-1)(3-2) + c(3-1) + d$

$26 = 0 + 2b + 2c + 0$

$26 = 2b + 2(7)$

$26 = 2b + 14$

$2b = 12$

よって、$b = 6$ となる。

最後に、与式を展開して係数比較を行う。

$x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$

$x^3 - 1 = a(x^2 - 3x + 2)(x-3) + b(x^2 - 3x + 2) + c(x-1) + d$

$x^3 - 1 = a(x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6) + b(x^2 - 3x + 2) + c(x-1) + d$

$x^3 - 1 = a(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) + b(x^2 - 3x + 2) + c(x-1) + d$

$x^3 - 1 = ax^3 - 6ax^2 + 11ax - 6a + bx^2 - 3bx + 2b + cx - c + d$

$x^3 - 1 = ax^3 + (-6a + b)x^2 + (11a - 3b + c)x + (-6a + 2b - c + d)$

係数を比較すると、

$x^3$ の係数: $a = 1$

$x^2$ の係数: $-6a + b = 0$

$x$ の係数: $11a - 3b + c = 0$

定数項: $-6a + 2b - c + d = -1$

$a=1$ であるから、

$-6(1) + b = 0$ より、$b=6$

$11(1) - 3(6) + c = 0$ より、$11 - 18 + c = 0$, $c = 7$

$-6(1) + 2(6) - 7 + d = -1$ より、$-6 + 12 - 7 + d = -1$, $-1 + d = -1$, $d = 0$

したがって、$a=1, b=6, c=7, d=0$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = 6$, $c = 7$, $d = 0$