面積が $108 \text{cm}^2$ で、縦の長さが横の長さより $3 \text{cm}$ 長い長方形の対角線の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

面積が $108 \text{cm}^2$ で、縦の長さが横の長さより $3 \text{cm}$ 長い長方形の対角線の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、横の長さを $x \text{cm}$ とおくと、縦の長さは $(x+3) \text{cm}$ と表せます。

長方形の面積は縦の長さと横の長さをかけたものなので、

$x(x+3) = 108$

という式が成り立ちます。

この式を展開して整理すると、

$x^2 + 3x - 108 = 0$

となります。

この2次方程式を解きます。因数分解を利用すると、

$(x+12)(x-9) = 0$

となるので、$x = -12$ または $x = 9$ となります。

$x$ は長さを表すので、正の値である必要があります。したがって、$x = 9$ となります。

横の長さは $9 \text{cm}$ であり、縦の長さは $9+3 = 12 \text{cm}$ となります。

長方形の対角線の長さを $d \text{cm}$ とすると、ピタゴラスの定理より、

$d^2 = 9^2 + 12^2$

$d^2 = 81 + 144$

$d^2 = 225$

$d = \sqrt{225} = 15$

したがって、対角線の長さは $15 \text{cm}$ です。

3. 最終的な答え

$15 \text{cm}$