与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、掃き出し法または余因子行列を用いる方法があります。ここでは掃き出し法を用いて解きます。

ステップ1：拡大行列を作成する。

与えられた行列Aと単位行列を並べて、拡大行列 $[A | I]$ を作成します。

$[A | I] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ2：行基本変形を行う。

左側の行列Aを単位行列に変形するように行基本変形を行います。

- 2行目から1行目の2倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$)

- 3行目から1行目を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 2行目を-1倍します ($R_2 \rightarrow -R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 1行目から2行目の2倍を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2$)

- 3行目に2行目の2倍を加えます ($R_3 \rightarrow R_3 + 2R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

- 3行目を-1倍します ($R_3 \rightarrow -R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

- 1行目から3行目の2倍を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 - 2R_3$)

- 2行目に3行目を加えます ($R_2 \rightarrow R_2 + R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

ステップ3：逆行列を得る。

左側が単位行列になったとき、右側にある行列が逆行列 $A^{-1}$ となります。

3. 最終的な答え

逆行列 $A^{-1}$ は以下のようになります。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$