与えられた3つの等式が正しいかどうかを判断し、正しい場合は〇、正しくない場合は×を記入します。 (1) 数列 $\{a_k\}$, $\{b_k\}$ に対して、$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} a_k \times \sum_{k=1}^{n} b_k$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{2}{n(n+1)}$ (3) $\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの等式が正しいかどうかを判断し、正しい場合は〇、正しくない場合は×を記入します。

(1) 数列 $\{a_k\}$, $\{b_k\}$ に対して、$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} a_k \times \sum_{k=1}^{n} b_k$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{2}{n(n+1)}$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 1$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_k\}$, $\{b_k\}$ に対して、$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} a_k \times \sum_{k=1}^{n} b_k$

これは一般的には成り立ちません。例えば、$a_k = 1$、$b_k = 1$ とすると、左辺は $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$、右辺は $\sum_{k=1}^{n} 1 \times \sum_{k=1}^{n} 1 = n \times n = n^2$ となり、$n = 1$ のときのみ成り立ちます。したがって、この等式は正しくありません。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{2}{n(n+1)}$

これは明らかに誤りです。左辺は調和級数の部分和であり、右辺は $n$ が大きくなると 0 に近づきますが、左辺は発散します。したがって、この等式は正しくありません。例えば、$n=1$のとき、左辺は $1$、右辺は $2/(1*2) = 1$となり偶然正しいですが、$n=2$のとき、左辺は $1 + 1/2 = 3/2$、右辺は $2/(2*3) = 1/3$ となり成り立ちません。

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 1$

左辺を書き下すと、$\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2 = 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2$ となります。

右辺を書き下すと、$\sum_{k=1}^{n} k^2 - 1 = (1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2) - 1 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 - 1$ となります。

右辺から左辺を引くと、$1^2 - 1 = 0$ となるので、

$\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2 = \sum_{k=2}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 1$

したがって、この等式は正しいです。

3. 最終的な答え

(1) ×

(2) ×

(3) 〇