(1) $x = y$であることは、$x^2 = y^2$であるための何条件か。 (2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための何条件か。 選択肢は以下の通り。 0. 必要十分条件である 1. 必要条件であるが、十分条件ではない

1. 問題の内容

(1) $x = y$であることは、$x^2 = y^2$であるための何条件か。

(2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための何条件か。

選択肢は以下の通り。

0. 必要十分条件である

1. 必要条件であるが、十分条件ではない

2. 十分条件であるが、必要条件ではない

3. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1)

$x = y \implies x^2 = y^2$ は常に成り立つので、これは十分条件である。

$x^2 = y^2 \implies x = y$ は、$x = y$または$x = -y$を意味するので、$x = y$とは限らない。よって、必要条件ではない。

したがって、これは十分条件であるが、必要条件ではない。

(2)

$x$と$y$がともに有理数であれば、$xy$も有理数になるので、十分条件である。

しかし、$xy$が有理数であっても、$x$と$y$がともに有理数とは限らない。例えば、$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2}$とすると、$xy = 2$となり有理数だが、$x$と$y$は無理数である。よって、必要条件ではない。

したがって、これは十分条件であるが、必要条件ではない。

3. 最終的な答え

ウ：2

エ：2