$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $a, b$ の値を求めよ。 (2) $b + \frac{1}{b}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a, b$ の値を求めよ。

(2) $b + \frac{1}{b}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{5}$ の値について、$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、

$4 < \sqrt{5}+2 < 5$ となる。

したがって、$\sqrt{5}+2$ の整数の部分は $a = 4$ である。

小数の部分は $b = (\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5}-2$ である。

(2) $b + \frac{1}{b}$ の値を求める。

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5}-2) + \frac{1}{\sqrt{5}-2} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = \sqrt{5}-2$

(2) $2\sqrt{5}$