$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、 (1) $a, b$ の値を求める。 (2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、

(1) $a, b$ の値を求める。

(2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、$4 < \sqrt{5} + 2 < 5$ となる。

したがって、$a = 4$ であり、$b = (\sqrt{5} + 2) - 4 = \sqrt{5} - 2$ である。

(2) $b + \frac{1}{b}$ の値を求めます。

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5} - 2) + \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$

次に、$b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めます。

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b + \frac{1}{b})^2 - 2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $a=4, b=\sqrt{5}-2$

(2) $b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{5}$, $b^2 + \frac{1}{b^2} = 18$