$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3y + xy^3$ (5) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3y + xy^3$

(5) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ と $xy$ を計算する。

(1) $x+y$

$x+y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $xy$

$xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{11})^2}{4} = \frac{5-11}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

次に、$x^2 + y^2$ を求める。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{5})^2 - 2(-\frac{3}{2}) = 5 + 3 = 8$

次に、$x^3y + xy^3$ を求める。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = (-\frac{3}{2})(8) = -12$

最後に、$x^3 + y^3$ を求める。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x^2+y^2) - xy) = (\sqrt{5})(8 - (-\frac{3}{2})) = \sqrt{5}(8 + \frac{3}{2}) = \sqrt{5}(\frac{16+3}{2}) = \frac{19\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{5}$

(2) $xy = -\frac{3}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = 8$

(4) $x^3y + xy^3 = -12$

(5) $x^3 + y^3 = \frac{19\sqrt{5}}{2}$