不等式 $2x-3 > a+8x$ について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 解が $x < 1$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。 (2) 解が $x = 0$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が0となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $2x-3 > a+8x$ について、以下の3つの問いに答えます。

(1) 解が $x < 1$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。

(2) 解が $x = 0$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が0となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式を変形します。

$2x-3 > a+8x$

$-6x > a+3$

$x < -\frac{a+3}{6}$

(1) 解が $x < 1$ となるようにするためには、 $-\frac{a+3}{6} = 1$ となれば良いです。

$-\frac{a+3}{6} = 1$

$-a-3 = 6$

$-a = 9$

$a = -9$

(2) 解が $x=0$ を含むようにするためには、$0 < -\frac{a+3}{6}$ となれば良いです。

$0 < -\frac{a+3}{6}$

$0 > \frac{a+3}{6}$

$0 > a+3$

$a < -3$

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が0となるようにするためには、$0 < x < 1$ の範囲に解が存在し、$x$ が1以上の整数を含まないようにすれば良いです。言い換えると、$0 \le -\frac{a+3}{6} < 1$ となるように $a$ を定めれば良いです。

$0 \le -\frac{a+3}{6} < 1$

$0 \ge \frac{a+3}{6} > -1$

$0 \ge a+3 > -6$

$-3 \ge a > -9$

したがって、$-9 < a \le -3$となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = -9$

(2) $a < -3$

(3) $-9 < a \le -3$