数列 $\{a_n\}$ が $1, 11, 111, 1111, \dots$ で与えられています。この数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めるために、以下の2通りの方法が示されています。空欄ア～オに当てはまる式または数を答える問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $1, 11, 111, 1111, \dots$ で与えられています。この数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めるために、以下の2通りの方法が示されています。空欄ア～オに当てはまる式または数を答える問題です。

2. 解き方の手順

【方法1】

数列 $\{a_n\}$ の各項に9を掛け、さらに1を足してできる数列は、

$1 \times 9 + 1 = 10$,

$11 \times 9 + 1 = 100$,

$111 \times 9 + 1 = 1000$,

$1111 \times 9 + 1 = 10000$,

$\dots$

これは、初項が10、公比が10の等比数列です。

したがって、ア = 10、イ = 10 となります。

その初項から第 $n$ 項までの和は、等比数列の和の公式より

$10 \cdot \frac{10^n - 1}{10 - 1} = \frac{10}{9}(10^n - 1)$

したがって、ウ = $\frac{10}{9}(10^n - 1)$ となります。

求めたい $S_n$ は、$\frac{10}{9}(10^n - 1)$ から $n$ を引いて、さらに9で割ればよいので、

$\frac{1}{9}\left(\frac{10}{9}(10^n - 1) - n\right) = \frac{1}{9} \left( \frac{10^{n+1} - 10}{9} - n \right) = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$

すなわち、$S_n = \frac{1}{9} \left(\frac{10}{9}(10^n - 1) - n\right)$

したがって、エ = $n$、オ = $\frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$ となります。

【方法2】

数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ を書き出すと、

$b_1 = a_2 - a_1 = 11 - 1 = 10$

$b_2 = a_3 - a_2 = 111 - 11 = 100$

$b_3 = a_4 - a_3 = 1111 - 111 = 1000$

$\dots$

となり、$\{b_n\}$ の一般項は $10^n$ であることがわかります。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 10^k = 1 + \frac{10(10^{n-1} - 1)}{10 - 1} = 1 + \frac{10}{9}(10^{n-1} - 1) = \frac{10^n - 1}{9}$

したがって、$a_n = \frac{10^n - 1}{9}$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9} = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1) = \frac{1}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{10}{9}(10^n - 1) - n \right) = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$

したがって、オ = $\frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$ となります。

3. 最終的な答え

ア = 10

イ = 10

ウ = $\frac{10}{9}(10^n - 1)$

エ = $n$

オ = $\frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$