この問題は、行列に関する計算問題です。具体的には、以下の3つのパートに分かれています。 (1) 行列の等式が成り立つような $a, b, c, d$ の値を求める問題。 (2) 行列の和、差、スカラー倍の計算を行う問題。 (3) 与えられた行列 $A, B$ に対して、$4A - P = 2P + B$, $2(A-Q) = 3(Q-2B)$, $\frac{1}{3}(R - 2A + B) = \frac{1}{2}R - \frac{2}{3}A + B$ を満たす行列 $P, Q, R$ を求める問題。

1. 問題の内容

この問題は、行列に関する計算問題です。具体的には、以下の3つのパートに分かれています。

(1) 行列の等式が成り立つような $a, b, c, d$ の値を求める問題。

(2) 行列の和、差、スカラー倍の計算を行う問題。

(3) 与えられた行列 $A, B$ に対して、$4A - P = 2P + B$, $2(A-Q) = 3(Q-2B)$, $\frac{1}{3}(R - 2A + B) = \frac{1}{2}R - \frac{2}{3}A + B$ を満たす行列 $P, Q, R$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

① $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & 2d \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ より、$c=1$, $2d = -2$, $a = -3$, $b = 1$。よって、$a=-3, b=1, c=1, d=-1$。

② $\begin{pmatrix} a+b \\ b+c \\ c+a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ より、$a+b=1$, $b+c=2$, $c+a=3$。これらの式を解くと、$a=1, b=0, c=2$。

③ $\begin{pmatrix} a & a+b & a-b \\ c & c-d & c+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ -1 & -4 & -14 \end{pmatrix}$ より、$a=4$, $a+b=2$, $a-b=6$, $c=-1$, $c-d=-4$, $c+d=-14$。$a=4$ と $a+b=2$ より $b=-2$。$c=-1$ と $c-d=-4$ より $d=3$。

(2)

① $2\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 & 9 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-12+1 & 4-9+0 \\ 6-6+0 & 8-3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

② $2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3/2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1+1 \\ 4 - 3/2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5/2 \end{pmatrix}$

③ $2\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\ 4 & -4 & 4 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 4 & -1 & 4 \\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

(3)

① $4A - P = 2P + B$ より、$3P = 4A - B$。従って、$P = \frac{1}{3}(4A - B) = \frac{1}{3}\left(4\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -12-1 & 4-2 \\ 8-2 & -8-3 \\ -4-3 & 12-1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -13 & 2 \\ 6 & -11 \\ -7 & 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/3 & 2/3 \\ 2 & -11/3 \\ -7/3 & 11/3 \end{pmatrix}$

② $2(A-Q) = 3(Q - 2B)$ より、$2A - 2Q = 3Q - 6B$。よって、$5Q = 2A + 6B$、従って $Q = \frac{1}{5}(2A + 6B) = \frac{1}{5}\left(2\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} -6+6 & 2+12 \\ 4+12 & -4+18 \\ -2+18 & 6+6 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 0 & 14 \\ 16 & 14 \\ 16 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 14/5 \\ 16/5 & 14/5 \\ 16/5 & 12/5 \end{pmatrix}$

③ $\frac{1}{3}(R - 2A + B) = \frac{1}{2}R - \frac{2}{3}A + B$ より、$\frac{1}{3}R - \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}B = \frac{1}{2}R - \frac{2}{3}A + B$。よって、$\frac{1}{6}R = -\frac{2}{3}B$。従って、$R = -4B = -4\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -8 \\ -8 & -12 \\ -12 & -4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

① $a=-3, b=1, c=1, d=-1$

② $a=1, b=0, c=2$

③ $a=4, b=-2, c=-1, d=3$

(2)

① $\begin{pmatrix} -9 & -5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

② $\begin{pmatrix} 4 \\ 5/2 \end{pmatrix}$

③ $\begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 4 & -1 & 4 \\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

(3)

① $P = \begin{pmatrix} -13/3 & 2/3 \\ 2 & -11/3 \\ -7/3 & 11/3 \end{pmatrix}$

② $Q = \begin{pmatrix} 0 & 14/5 \\ 16/5 & 14/5 \\ 16/5 & 12/5 \end{pmatrix}$

③ $R = \begin{pmatrix} -4 & -8 \\ -8 & -12 \\ -12 & -4 \end{pmatrix}$