画像に写っている3つの数式をそれぞれ展開・計算して簡単にしてください。 (1) $(x^2+x+2)(x^2-x+2)$ (2) $(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)$ (3) $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (省略)$

1. 問題の内容

画像に写っている3つの数式をそれぞれ展開・計算して簡単にしてください。

(1) $(x^2+x+2)(x^2-x+2)$

(2) $(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)$

(3) $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (省略)$

2. 解き方の手順

(1)

$A=x^2+2$ と置くと、

$(x^2+x+2)(x^2-x+2) = (A+x)(A-x) = A^2 - x^2$

$A^2 = (x^2+2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$

よって、 $A^2 - x^2 = x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 = x^4 + 3x^2 + 4$

(2)

$(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)$

$(x-y)^2(x+y) = (x-y)(x-y)(x+y) = (x-y)(x^2-y^2) = x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$

$(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x^3 - x^2y - xy^2 + y^3)$

$(x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3 - y^3$

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$

$(x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3 - y^3$

$(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$

$(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y) = (x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)(x-y)(x+y) = (x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)(x^2-y^2)$

$(x^2+xy+y^2)(x-y)(x^2+y^2)(x^2-y^2) = (x^3 - y^3)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

$(x^2+y^2)(x^2-y^2) = x^4 - y^4$

$(x^3-y^3)(x^4-y^4) = x^7 - x^3y^4 - x^4y^3 + y^7$

$(x-y)^2(x+y) = (x^2-2xy+y^2)(x+y) = x^3 - 2x^2y + xy^2 + x^2y -2xy^2 + y^3 = x^3-x^2y-xy^2 + y^3$

$(x^2+xy+y^2)(x^3-x^2y-xy^2 + y^3) = x^5 - x^4y - x^3y^2 + x^2y^3 + x^4y - x^3y^2 - x^2y^3 + xy^4 + x^3y^2 - x^2y^3 - xy^4 + y^5 = x^5 - x^3y^2 - x^2y^3+ y^5$

$(x^5+y^5)(x^2+y^2) = x^7 + x^5y^2 + x^2y^5 + y^7$

$(x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3-y^3$

$(x-y)(x+y) = x^2-y^2$

$(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)(x-y)(x+y) = (x^3 - y^3) (x^2+y^2)(x-y)(x+y) = (x^3-y^3)(x^2+y^2)(x^2-y^2)$

$(x^3-y^3)(x^4-y^4) = x^7 - x^3y^4 - x^4y^3 + y^7$

(3)

問題文が途中で切れているため、解けません。

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 3x^2 + 4$

(2) $x^7 - x^3y^4 - x^4y^3 + y^7$

(3) 解けません