与えられた繁分数式を簡略化する問題です。具体的には、以下の5つの式を簡約化します。 (1) $\frac{\frac{d}{ab}}{\frac{b^2}{ac}}$ (2) $\frac{x^2-y^2}{\frac{1}{y}-\frac{1}{x}}$ (3) $\frac{x+3-\frac{5}{x-1}}{x+1-\frac{3}{x-1}}$ (4) $\frac{1}{\frac{a-b}{2}}$/($a^2-b^2$) (5) $\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x+1}}}$

はい、承知いたしました。繁分数式の計算問題ですね。一つずつ丁寧に解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた繁分数式を簡略化する問題です。具体的には、以下の5つの式を簡約化します。

(1) $\frac{\frac{d}{ab}}{\frac{b^2}{ac}}$

(2) $\frac{x^2-y^2}{\frac{1}{y}-\frac{1}{x}}$

(3) $\frac{x+3-\frac{5}{x-1}}{x+1-\frac{3}{x-1}}$

(4) $\frac{1}{\frac{a-b}{2}}$/($a^2-b^2$)

(5) $\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x+1}}}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、割り算を掛け算に変換します。

$\frac{\frac{d}{ab}}{\frac{b^2}{ac}} = \frac{d}{ab} \times \frac{ac}{b^2}$

次に、約分できる部分を約分します。

$\frac{d}{ab} \times \frac{ac}{b^2} = \frac{acd}{ab^3}$

最後に、約分します。

$\frac{acd}{ab^3}=\frac{cd}{b^3}$

(2)

分子を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

分母を通分します。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x-y}{xy}$

式全体を書き換えます。

$\frac{(x+y)(x-y)}{\frac{x-y}{xy}} = (x+y)(x-y) \times \frac{xy}{x-y}$

約分して整理します。

$(x+y)(x-y) \times \frac{xy}{x-y}=xy(x+y)$

(3)

分子と分母にそれぞれ(x-1)を掛けます。

$\frac{x+3-\frac{5}{x-1}}{x+1-\frac{3}{x-1}} = \frac{(x+3)(x-1)-5}{(x+1)(x-1)-3}$

分子と分母をそれぞれ展開して整理します。

$\frac{x^2+2x-3-5}{x^2-1-3} = \frac{x^2+2x-8}{x^2-4}$

分子と分母を因数分解します。

$\frac{x^2+2x-8}{x^2-4} = \frac{(x+4)(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

約分します。

$\frac{(x+4)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+4}{x+2}$

(4)

まず分母の分数を整理します。

$\frac{a-b}{2} = \frac{a-b}{2}$

全体の式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{a-b}{2}}$/($a^2-b^2$) = $\frac{1}{\frac{a-b}{2}(a^2-b^2)} = \frac{2}{(a-b)(a^2-b^2)} = \frac{2}{(a-b)(a+b)(a-b)} = \frac{2}{(a-b)^2 (a+b)}$

(5)

分母の分数を整理します。

$1 + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1+1}{x+1} = \frac{x+2}{x+1}$

全体の式を書き換えます。

$\frac{1}{1-\frac{1}{\frac{x+2}{x+1}}} = \frac{1}{1-\frac{x+1}{x+2}} = \frac{1}{\frac{x+2-(x+1)}{x+2}} = \frac{1}{\frac{1}{x+2}} = x+2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{cd}{b^3}$

(2) $xy(x+y)$

(3) $\frac{x+4}{x+2}$

(4) $\frac{2}{(a-b)^2 (a+b)}$

(5) $x+2$