問題は、数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項が $a_1 = 4$ であり、漸化式が $a_{n+1} = a_n + 3n + 4$ であるときに、数列の一般項を求めるというものです。

1. 問題の内容

問題は、数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項が $a_1 = 4$ であり、漸化式が $a_{n+1} = a_n + 3n + 4$ であるときに、数列の一般項を求めるというものです。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$a_{n+1} - a_n = 3n + 4$

$n = 1, 2, 3, ..., n-1$ を代入して、以下の式を得ます。

$a_2 - a_1 = 3(1) + 4$

$a_3 - a_2 = 3(2) + 4$

$a_4 - a_3 = 3(3) + 4$

...

$a_n - a_{n-1} = 3(n-1) + 4$

これらの式をすべて足し合わせると、左辺は $a_n - a_1$ になります。右辺は、

$\sum_{k=1}^{n-1} (3k + 4) = 3\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 4$

$= 3\frac{(n-1)n}{2} + 4(n-1)$

$= \frac{3n^2 - 3n}{2} + 4n - 4$

$= \frac{3n^2 - 3n + 8n - 8}{2}$

$= \frac{3n^2 + 5n - 8}{2}$

したがって、$a_n - a_1 = \frac{3n^2 + 5n - 8}{2}$ となります。

$a_1 = 4$ なので、

$a_n = a_1 + \frac{3n^2 + 5n - 8}{2} = 4 + \frac{3n^2 + 5n - 8}{2} = \frac{8 + 3n^2 + 5n - 8}{2} = \frac{3n^2 + 5n}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 + 5n}{2}$