与えられた式 $(x+y+1)(x-2y+1)-4y^2$ を展開して整理し、因数分解できる場合は因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+1)(x-2y+1)-4y^2$ を展開して整理し、因数分解できる場合は因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y+1)(x-2y+1)$を展開する。

$(x+y+1)(x-2y+1) = x(x-2y+1) + y(x-2y+1) + 1(x-2y+1)$

$= x^2 - 2xy + x + xy - 2y^2 + y + x - 2y + 1$

$= x^2 - xy - 2y^2 + 2x - y + 1$

次に、この結果から$4y^2$を引く。

$x^2 - xy - 2y^2 + 2x - y + 1 - 4y^2 = x^2 - xy - 6y^2 + 2x - y + 1$

ここで、$x^2 + 2x + 1$の部分に着目すると、$(x+1)^2$となる。

$x^2 - xy - 6y^2 + 2x - y + 1 = (x+1)^2 - y(x+6y+1)$

$x^2 - xy - 6y^2 + 2x - y + 1 = x^2 + 2x + 1 - xy - 6y^2 -y$

$= (x+1)^2 - y(x+6y+1)$

$= (x+1)^2 - (x+6y+1)y$

別の方法として、$x^2 - xy - 6y^2 + 2x - y + 1$を因数分解することを試みる。$x$について整理すると

$x^2 + (2-y)x + (1-y-6y^2)$となる。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-(2-y) \pm \sqrt{(2-y)^2 - 4(1-y-6y^2)}}{2}$

$= \frac{y-2 \pm \sqrt{4 - 4y + y^2 - 4 + 4y + 24y^2}}{2}$

$= \frac{y-2 \pm \sqrt{25y^2}}{2}$

$= \frac{y-2 \pm 5y}{2}$

よって、$x = \frac{6y-2}{2} = 3y-1$ または $x = \frac{-4y-2}{2} = -2y-1$

したがって、$x - (3y-1) = x - 3y + 1$と$x - (-2y-1) = x + 2y + 1$を因数に持つ。

$(x - 3y + 1)(x + 2y + 1) = x^2 + 2xy + x - 3xy - 6y^2 - 3y + x + 2y + 1$

$= x^2 - xy - 6y^2 + 2x - y + 1$

3. 最終的な答え

$(x-3y+1)(x+2y+1)$