一般項が $a_n = 3n - 5$ で表される等差数列 $\{a_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の項を初項から1つおきにとってできる数列 $a_1, a_3, a_5, \dots$ を $\{b_n\}$ とする。このとき、数列 $\{b_n\}$ が等差数列であることを示し、数列 $\{b_n\}$ の初項と公差を求めよ。

1. 問題の内容

一般項が $a_n = 3n - 5$ で表される等差数列 $\{a_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の項を初項から1つおきにとってできる数列 $a_1, a_3, a_5, \dots$ を $\{b_n\}$ とする。このとき、数列 $\{b_n\}$ が等差数列であることを示し、数列 $\{b_n\}$ の初項と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表す。

$b_n$ は数列 $\{a_n\}$ の奇数番目の項なので、$a_{2n-1}$ と表せる。

したがって、

$b_n = a_{2n-1} = 3(2n-1) - 5 = 6n - 3 - 5 = 6n - 8$

数列 $\{b_n\}$ が等差数列であることを示すには、$b_{n+1} - b_n$ が $n$ に依存しない定数であることを示せばよい。

$b_{n+1} - b_n = (6(n+1) - 8) - (6n - 8) = 6n + 6 - 8 - 6n + 8 = 6$

これは $n$ に依存しない定数なので、数列 $\{b_n\}$ は等差数列である。

次に、数列 $\{b_n\}$ の初項を求める。

$b_1 = a_1 = 3(1) - 5 = -2$

最後に、数列 $\{b_n\}$ の公差を求める。

$b_{n+1} - b_n = 6$ であったので、公差は6である。

3. 最終的な答え

数列 $\{b_n\}$ は等差数列である。

数列 $\{b_n\}$ の初項は -2 である。

数列 $\{b_n\}$ の公差は 6 である。