与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を次のように変形します。

$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = 4a^4 + 24a^2b^2 + 36b^4 - 49a^2b^2$

ここで、

$4a^4 + 24a^2b^2 + 36b^4 = (2a^2 + 6b^2)^2$

なので、

$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (2a^2 + 6b^2)^2 - (7ab)^2$

これは、二乗の差の形 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ で因数分解できます。

$A = 2a^2 + 6b^2$、 $B = 7ab$ とすると、

$(2a^2 + 6b^2)^2 - (7ab)^2 = (2a^2 + 6b^2 + 7ab)(2a^2 + 6b^2 - 7ab)$

整理すると、

$(2a^2 + 7ab + 6b^2)(2a^2 - 7ab + 6b^2)$

さらに、それぞれの括弧内を因数分解します。

$2a^2 + 7ab + 6b^2 = (2a + 3b)(a + 2b)$

$2a^2 - 7ab + 6b^2 = (2a - 3b)(a - 2b)$

したがって、

$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (2a + 3b)(a + 2b)(2a - 3b)(a - 2b)$

3. 最終的な答え

$(2a+3b)(a+2b)(2a-3b)(a-2b)$