与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この式は、一見すると因数分解できなさそうに見えますが、$A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$の形を利用することを考えます。

まず、$4a^4$と$36b^4$をそれぞれ$(2a^2)^2$と$(6b^2)^2$と見ます。

$(2a^2 - 6b^2)^2$を展開すると、$4a^4 - 24a^2b^2 + 36b^4$となります。

元の式と比較すると、$a^2b^2$の項の係数が-25ですので、

$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (4a^4 - 24a^2b^2 + 36b^4) - a^2b^2 = (2a^2 - 6b^2)^2 - (ab)^2$

となります。

ここで、$X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)$の因数分解の公式を使うと、

$(2a^2 - 6b^2)^2 - (ab)^2 = (2a^2 - 6b^2 + ab)(2a^2 - 6b^2 - ab)$

となります。

通常は、$a$の降べきの順に並び替えるので、

$(2a^2 + ab - 6b^2)(2a^2 - ab - 6b^2)$となります。

さらに、それぞれの括弧の中を因数分解できるか検討します。

$2a^2 + ab - 6b^2$は、$2a^2 + 4ab - 3ab - 6b^2 = 2a(a+2b) - 3b(a+2b) = (2a - 3b)(a + 2b)$と因数分解できます。

$2a^2 - ab - 6b^2$は、$2a^2 - 4ab + 3ab - 6b^2 = 2a(a-2b) + 3b(a-2b) = (2a + 3b)(a - 2b)$と因数分解できます。

したがって、$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (a+2b)(2a-3b)(a-2b)(2a+3b)$ となります。

3. 最終的な答え

$(a+2b)(a-2b)(2a-3b)(2a+3b)$

あるいは

$(a^2 - 4b^2)(4a^2 - 9b^2)$