数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 5$ と漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ によって定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 5$ と漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ によって定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ を変形して、階差数列の形に近づけます。漸化式を $n(n+1)$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + \frac{2}{n(n+1)}$

ここで、新しい数列 $b_n = \frac{a_n}{n}$ を定義すると、漸化式は

$b_{n+1} = b_n + \frac{2}{n(n+1)}$

と書けます。これは階差数列の形なので、$n \ge 2$ に対して、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{k(k+1)}$

となります。$b_1 = \frac{a_1}{1} = \frac{5}{1} = 5$ です。

$\frac{2}{k(k+1)}$ を部分分数分解すると、

$\frac{2}{k(k+1)} = 2 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

したがって、

$b_n = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 5 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

シグマの部分はtelescoping sumなので、

$\sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = 1 - \frac{1}{n}$

ゆえに、$b_n = 5 + 2 \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = 5 + 2 - \frac{2}{n} = 7 - \frac{2}{n}$

したがって、$a_n = nb_n = n \left( 7 - \frac{2}{n} \right) = 7n - 2$

$n=1$のとき、$a_1 = 7(1)-2 = 5$ となり、初項の条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a_n = 7n - 2$