与えられた二次関数のグラフを描き、軸と頂点を求める。 (1) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$ (2) $y = -3x^2 + 3x + \frac{1}{4}$ (3) $y = (x-1)(x-5)$ (4) $y = (2x-1)(x+3)$

はい、承知いたしました。画像にある４つの二次関数について、それぞれグラフの概形を描き、軸と頂点を求めます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数のグラフを描き、軸と頂点を求める。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$

(2) $y = -3x^2 + 3x + \frac{1}{4}$

(3) $y = (x-1)(x-5)$

(4) $y = (2x-1)(x+3)$

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。平方完成された式から軸の方程式もわかります。その後、グラフの概形を描きます。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x+1)^2$

軸：$x = -1$

頂点：$(-1, 0)$

グラフは下に凸。

(2) $y = -3x^2 + 3x + \frac{1}{4}$

$y = -3(x^2 - x) + \frac{1}{4}$

$y = -3(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}$

$y = -3(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

$y = -3(x - \frac{1}{2})^2 + 1$

軸：$x = \frac{1}{2}$

頂点：$(\frac{1}{2}, 1)$

グラフは上に凸。

(3) $y = (x-1)(x-5)$

$y = x^2 - 6x + 5$

$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$

$y = (x-3)^2 - 9 + 5$

$y = (x-3)^2 - 4$

軸：$x = 3$

頂点：$(3, -4)$

グラフは下に凸。

(4) $y = (2x-1)(x+3)$

$y = 2x^2 + 6x - x - 3$

$y = 2x^2 + 5x - 3$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x) - 3$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16}) - 3$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} - 3$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} - \frac{24}{8}$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{49}{8}$

軸：$x = -\frac{5}{4}$

頂点：$(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$

グラフは下に凸。

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, 0)$

(2) 軸: $x = \frac{1}{2}$, 頂点: $(\frac{1}{2}, 1)$

(3) 軸: $x = 3$, 頂点: $(3, -4)$

(4) 軸: $x = -\frac{5}{4}$, 頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$

グラフの概形は上記の軸と頂点、そして二次関数の向き(上に凸か下に凸か)を考慮して描画してください。