問題は、実数全体の集合 $R$ の部分集合 $A, B, C$ が与えられており、$A = \{x|x^2 - 4x + 3 \le 0\}$, $B = \{x||x - b| \le 1\}$, $C = \{x|x^2 - (2c+1)x + c^2 + c > 0\}$ と定義されています。 (1) $A = B$ となる時の $b$ の値、および $A \cap B = \emptyset$ となる時の $b$ の範囲を求めます。 (2) $A \subset C$ となる時の $c$ の範囲、および $A \cup C = R$ となる時の $c$ の範囲を求めます。 (3) $A \cap B = \overline{C}$ となる時の $b, c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、実数全体の集合 $R$ の部分集合 $A, B, C$ が与えられており、$A = \{x|x^2 - 4x + 3 \le 0\}$, $B = \{x||x - b| \le 1\}$, $C = \{x|x^2 - (2c+1)x + c^2 + c > 0\}$ と定義されています。

(1) $A = B$ となる時の $b$ の値、および $A \cap B = \emptyset$ となる時の $b$ の範囲を求めます。

(2) $A \subset C$ となる時の $c$ の範囲、および $A \cup C = R$ となる時の $c$ の範囲を求めます。

(3) $A \cap B = \overline{C}$ となる時の $b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A$ を求めます。$x^2 - 4x + 3 \le 0$ より、$(x - 1)(x - 3) \le 0$ なので、$1 \le x \le 3$。したがって、$A = \{x|1 \le x \le 3\}$。

次に、$B$ を求めます。$|x - b| \le 1$ より、$-1 \le x - b \le 1$ なので、$b - 1 \le x \le b + 1$。したがって、$B = \{x|b - 1 \le x \le b + 1\}$。

$A = B$ となるのは、$b - 1 = 1$ かつ $b + 1 = 3$ の時なので、$b = 2$。

$A \cap B = \emptyset$ となるのは、$b + 1 < 1$ または $3 < b - 1$ の時。

$b + 1 < 1$ より $b < 0$。

$3 < b - 1$ より $4 < b$。

したがって、$b < 0$ または $4 < b$。

(2)

$C = \{x|x^2 - (2c+1)x + c^2 + c > 0\}$ より、$x^2 - (2c+1)x + c^2 + c = (x - c)(x - (c+1))$ なので、$C = \{x|(x - c)(x - (c+1)) > 0\}$。

したがって、$C = \{x|x < c \text{ または } c+1 < x\}$。

$A \subset C$ となるのは、$3 \le c$ または $c + 1 \le 1$のとき。後者は $c \le 0$ となる。

$A \cup C = R$ となるには、$c \le 1$ かつ $3 \le c+1$ のとき、$c \le 1$ かつ $2 \le c$となる。したがって、$2 \le c \le 1$。

$2 \le c \le 3$ の場合に $c \le x \le c+1$　となる。

(3)

$A = \{x|1 \le x \le 3\}$。$\overline{C}$を求める。$C = \{x|x < c \text{ または } c+1 < x\}$ より、$\overline{C} = \{x|c \le x \le c+1\}$。

$A \cap B = \overline{C}$ より、$A \cap B = \{x|1 \le x \le 3\} \cap \{x|b-1 \le x \le b+1\} = \{x|c \le x \le c+1\}$。

この場合、$\{x|1 \le x \le 3\}$ と $\{x|b-1 \le x \le b+1\}$ の共通部分が$\{x|c \le x \le c+1\}$となる必要がある。

この条件を満たすためには、いくつかのケースが考えられる。

(a) $b-1 = 1$ かつ $b+1 = 3$ の場合、$b = 2$ となる。このとき、$B = \{x|1 \le x \le 3\} = A$ となるので、$A \cap B = A = \{x|1 \le x \le 3\}$。

$\overline{C} = \{x|c \le x \le c+1\}$ なので、$c = 1$ かつ $c+1 = 3$ となる必要がある。しかしこれは矛盾する。

(b) $c = 1$ と $c+1=3$ の場合を考えた時も矛盾が生じる。

条件から考えると、$b=1$、$B=\{x|0 \le x \le 2\}$の場合、$A \cap B = \{x|1 \le x \le 2\}$となる。このとき、$\{x|c \le x \le c+1\} = \{x|1 \le x \le 2\}$ である必要があるので、$c = 1$ となる。

しかし、Cが条件にあわないため解なし。

3. 最終的な答え

(1) ア：2, イ：0, ウ：4

(2) エ：0, オ：3, カ：2, キ：3

(3) ク：解なし、ケ：解なし、コ：解なし、サ：解なし