問題は以下の通りです。 3. 次の式を因数分解せよ。 (1) $x^3 + 27$ (2) $8a^3 - 64b^3$ 4. 次の式を展開せよ。 (1) $(3a + 2b - 3c)^2$ (2) $(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2)$

はい、承知いたしました。数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

3. 次の式を因数分解せよ。

(1) $x^3 + 27$

(2) $8a^3 - 64b^3$

4. 次の式を展開せよ。

(1) $(3a + 2b - 3c)^2$

(2) $(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2)$

2. 解き方の手順

3.(1) $x^3 + 27$の因数分解

これは$x^3 + 3^3$なので、$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$の公式を利用します。

$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

3.(2) $8a^3 - 64b^3$の因数分解

まず、共通因数の8を括り出します。

$8a^3 - 64b^3 = 8(a^3 - 8b^3) = 8(a^3 - (2b)^3)$

ここで、$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$の公式を利用します。

$8(a^3 - (2b)^3) = 8(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$

4.(1) $(3a + 2b - 3c)^2$の展開

$(3a + 2b - 3c)^2 = (3a + 2b - 3c)(3a + 2b - 3c)$を展開します。

$(3a + 2b - 3c)^2 = (3a)^2 + (2b)^2 + (-3c)^2 + 2(3a)(2b) + 2(2b)(-3c) + 2(3a)(-3c)$

$= 9a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 12ab - 12bc - 18ac$

4.(2) $(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2)$の展開

$(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2) = (a^2 - b^2 + ab)(a^2 - b^2 - ab)$

ここで、$A = a^2 - b^2$と置くと、

$(A + ab)(A - ab) = A^2 - (ab)^2 = (a^2 - b^2)^2 - a^2b^2$

$= a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = a^4 - 3a^2b^2 + b^4$

3. 最終的な答え

3.(1) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

3.(2) $8(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$

4.(1) $9a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 12ab - 12bc - 18ac$

4.(2) $a^4 - 3a^2b^2 + b^4$