与えられた2次関数のグラフを描き、軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$ (2) $y = -3x^2 + 3x + \frac{1}{4}$

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフを描き、軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$

(2) $y = -3x^2 + 3x + \frac{1}{4}$

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}((x+1)^2 - 1) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x+1)^2$

頂点は $(-1, 0)$ であり、軸は $x = -1$ です。

(2) 次に、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 + 3x + \frac{1}{4}$

$y = -3(x^2 - x) + \frac{1}{4}$

$y = -3(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}$

$y = -3((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}$

$y = -3(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

$y = -3(x - \frac{1}{2})^2 + 1$

頂点は $(\frac{1}{2}, 1)$ であり、軸は $x = \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(-1, 0)$、軸: $x = -1$

(2) 頂点: $(\frac{1}{2}, 1)$、軸: $x = \frac{1}{2}$