数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$ および漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$ および漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を $n$ で割ると、

$a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n + \frac{2}{n}$

両辺に $n(n+1)$をかけると、

$n(n+1)a_{n+1} = (n+1)^2 a_n + 2(n+1)$

ここで、$b_n = n(n+1)a_n$ とおくと、$b_1 = 1(1+1)a_1 = 2 \cdot 5 = 10$ となり、

$b_{n+1} = (n+1)a_{n+1}(n+2)$

元の式から

$b_{n+1} = b_n + 2(n+1)$

数列$\{b_n\}$の階差数列は$2(n+1)$であるから、$n \ge 2$のとき

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2(k+1) = 10 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 10 + 2 (\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1)$

$= 10 + 2(\frac{(n-1)n}{2} + (n-1)) = 10 + n(n-1) + 2(n-1) = 10 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n + 8$

$n=1$のとき、$b_1 = 1^2 + 1 + 8 = 10$となるので、$b_n = n^2 + n + 8$は$n=1$のときも成り立つ。

したがって、

$a_n = \frac{b_n}{n(n+1)} = \frac{n^2 + n + 8}{n(n+1)} = \frac{n(n+1) + 8}{n(n+1)} = 1 + \frac{8}{n(n+1)} = 1 + 8(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

3. 最終的な答え

$a_n = 1 + \frac{8}{n(n+1)}$