与えられた式を計算し、簡略化します。問題の式は次の通りです。 $\frac{1}{1 + \frac{4x^2}{(1-x^2)^2}} \times \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、簡略化します。問題の式は次の通りです。

$\frac{1}{1 + \frac{4x^2}{(1-x^2)^2}} \times \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$

2. 解き方の手順

まず、左側の分数の分母を簡略化します。

$1 + \frac{4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{(1-x^2)^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{1 + 2x^2 + x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}$

次に、元の式に代入します。

$\frac{1}{\frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}} \times \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2} \times \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$

$(1-x^2)^2$と$(1+x^2)$を約分します。

$\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2} \times \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x^2}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、簡略化します。問題の式は次の通りです。

$\frac{x+11}{2x^2+7x+3} - \frac{x-10}{2x^2-3x-2}$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)$

$2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2)$

元の式に代入します。

$\frac{x+11}{(2x+1)(x+3)} - \frac{x-10}{(2x+1)(x-2)}$

通分します。

$\frac{(x+11)(x-2) - (x-10)(x+3)}{(2x+1)(x+3)(x-2)}$

分子を計算します。

$(x+11)(x-2) - (x-10)(x+3) = (x^2 + 9x - 22) - (x^2 -7x - 30) = x^2 + 9x - 22 - x^2 + 7x + 30 = 16x + 8$

$16x+8 = 8(2x+1)$

元の式に代入します。

$\frac{8(2x+1)}{(2x+1)(x+3)(x-2)}$

$(2x+1)$を約分します。

$\frac{8}{(x+3)(x-2)}$

$\frac{8}{x^2+x-6}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{x^2+x-6}$