数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。等差数列 $\{b_n\}$ は、第3項が5であり、初項から第10項までの和が100です。さらに、$S_n = b_{n+1}b_{n+2}$ ($n = 1, 2, 3, ...$)が成り立っています。 (1) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} > \frac{1}{10}$ となるような $n$ の値のうち最小のものを求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。等差数列 $\{b_n\}$ は、第3項が5であり、初項から第10項までの和が100です。さらに、$S_n = b_{n+1}b_{n+2}$ ($n = 1, 2, 3, ...$)が成り立っています。

(1) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} > \frac{1}{10}$ となるような $n$ の値のうち最小のものを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

等差数列 $\{b_n\}$ の初項を $b_1$ 、公差を $d$ とすると、

第3項が5であることから、

$b_3 = b_1 + 2d = 5$

初項から第10項までの和が100であることから、

$\frac{10}{2}(2b_1 + 9d) = 100$

$2b_1 + 9d = 20$

この2つの式から $b_1$ と $d$ を求める。

$b_1 + 2d = 5$ より $b_1 = 5 - 2d$

$2(5 - 2d) + 9d = 20$

$10 - 4d + 9d = 20$

$5d = 10$

$d = 2$

$b_1 = 5 - 2(2) = 1$

したがって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n = b_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1$。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$S_n = b_{n+1}b_{n+2}$ より、

$S_n = (2(n+1) - 1)(2(n+2) - 1) = (2n + 1)(2n + 3) = 4n^2 + 8n + 3$

$a_1 = S_1 = (2(1) + 1)(2(1) + 3) = 3 \cdot 5 = 15$

$a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \geq 2$)より、

$a_n = (4n^2 + 8n + 3) - (4(n-1)^2 + 8(n-1) + 3)$

$= (4n^2 + 8n + 3) - (4(n^2 - 2n + 1) + 8n - 8 + 3)$

$= (4n^2 + 8n + 3) - (4n^2 - 8n + 4 + 8n - 5) = 4n^2 + 8n + 3 - (4n^2 + (-1)) = 8n+3-(-1)= 8n + 4$

$n=1$のとき $a_1 = 8(1) + 4 = 12 \neq 15$.

$a_1$は別途計算する必要がある。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = 8n+4$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} > \frac{1}{10}$ となるような $n$ の値のうち最小のものを求める。

$a_k b_k = (8k + 4)(2k - 1) = 16k^2 - 8k + 8k - 4 = 16k^2 - 4 = 4(4k^2 - 1) = 4(2k - 1)(2k + 1)$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$より、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + ... + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{n}{2n + 1}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} = \frac{1}{4} \cdot \frac{n}{2n + 1}$

ただし、この式は $a_1$ の計算が違うため、$k=1$のみ別扱いにする。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} = \frac{1}{a_1b_1}+\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{a_k b_k} = \frac{1}{15*1} + \frac{1}{4} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{15} + \frac{1}{4} [\frac{n}{2n+1} - \frac{1}{3}] = \frac{1}{15} + \frac{n}{8n+4}-\frac{1}{12} = \frac{4+5n-5/3}{60} +\frac{5n}{60n + 30}$

$n$項目の式を修正

$k=1$の場合、$\frac{1}{a_1 b_1} = \frac{1}{15 \cdot 1} = \frac{1}{15}$

$k \geq 2$の場合、 $a_k = 8k + 4$, $b_k = 2k - 1$。

$\frac{1}{15} + \frac{1}{4} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{15} + \frac{1}{4} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} - \frac{1}{(2(1)-1)(2(1)+1)}\right)$

$= \frac{1}{15} + \frac{1}{4} \left( \frac{n}{2n+1} - \frac{1}{3} \right) > \frac{1}{10}$

$\frac{1}{15} + \frac{1}{4} \left( \frac{n}{2n+1} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{15} + \frac{3n-(2n+1)}{12(2n+1)}=\frac{4(2n+1)+ 5(n-1)}/60(2n+1) =\frac{8n+4+5n-5}{60(2n+1)} = \frac{13n-1}{60(2n+1)}>\frac{1}{10}$

$10(13n - 1) > 60(2n + 1)$

$130n - 10 > 120n + 60$

$10n > 70$

$n > 7$

したがって、$n = 8$

3. 最終的な答え

(1) $b_n = 2n - 1$

(2) $a_1 = 15$, $a_n = 8n + 4$ ($n \geq 2$)

(3) $n = 8$