与えられた4つの式をそれぞれ簡単にせよ。 (1) $(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)^3 (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1)^3$ (2) $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{9}}$ (3) $\sqrt{7 - \sqrt{21 + \sqrt{80}}}$ (4) $\frac{2}{3} < x < \frac{3}{4}$ のとき $\sqrt{9x^2 - 12x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{16x^2 - 24x + 9}$

はい、承知いたしました。以下の形式で問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ簡単にせよ。

(1) $(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)^3 (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1)^3$

(2) $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{9}}$

(3) $\sqrt{7 - \sqrt{21 + \sqrt{80}}}$

(4) $\frac{2}{3} < x < \frac{3}{4}$ のとき $\sqrt{9x^2 - 12x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{16x^2 - 24x + 9}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与式を次のように変形する。

$[(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]^3 [(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{2}]^3$

次に、積の順番を変えて

$[(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}] [(\sqrt{3} + 1) + \sqrt{2}] [(\sqrt{3} - 1) - \sqrt{2}] [(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{2}] [(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1)]$

$[(\sqrt{3}+1) - \sqrt{2}][(\sqrt{3}+1) + \sqrt{2}] = (\sqrt{3} + 1)^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 - 2 = 2+2\sqrt{3}$

$[(\sqrt{3}-1) - \sqrt{2}][(\sqrt{3}-1) + \sqrt{2}] = (\sqrt{3} - 1)^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 - 2 = 2-2\sqrt{3}$

ここで$A=\sqrt{3}-\sqrt{2}+1$とすると、もう一つの式は$\sqrt{3}+\sqrt{2}-1$になる。

したがって、$A \times B = (\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)= (\sqrt{3}+1-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2}-1)^2 = 3-(2-2\sqrt{2}+1)=3-(3-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}$

よって、与式は$(2\sqrt{2})^3 = 8 \times 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

(2)

各項の分母を有理化する。

$\frac{1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{1 - \sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{3 - 5} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{-2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{7}}{(\sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{7}}{5 - 7} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{7}}{-2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{9}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{9}}{(\sqrt{7} + \sqrt{9})(\sqrt{7} - \sqrt{9})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{9}}{7 - 9} = \frac{\sqrt{7} - 3}{-2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

したがって、

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{5} + 3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

(3)

$\sqrt{7 - \sqrt{21 + \sqrt{80}}} = \sqrt{7 - \sqrt{21 + \sqrt{16 \cdot 5}}} = \sqrt{7 - \sqrt{21 + 4\sqrt{5}}} = \sqrt{7 - \sqrt{20 + 1 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 1}} = \sqrt{7 - \sqrt{(2\sqrt{5} + 1)^2}} = \sqrt{7 - (2\sqrt{5} + 1)} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{5 + 1 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$

(4)

$\sqrt{9x^2 - 12x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{16x^2 - 24x + 9} = \sqrt{(3x - 2)^2} + \sqrt{(x + 2)^2} - \sqrt{(4x - 3)^2} = |3x - 2| + |x + 2| - |4x - 3|$

$\frac{2}{3} < x < \frac{3}{4}$ のとき、$2 < 3x < \frac{9}{4}$, $0 < 3x - 2 < \frac{9}{4} - 2 = \frac{1}{4}$. したがって$3x - 2 > 0$.

$x + 2 > 0$ は明らか.

$\frac{2}{3} < x < \frac{3}{4}$ より、$\frac{8}{3} < 4x < 3$, $\frac{8}{3} - 3 < 4x - 3 < 0$, $-\frac{1}{3} < 4x - 3 < 0$. したがって$4x - 3 < 0$.

したがって、

$|3x - 2| + |x + 2| - |4x - 3| = (3x - 2) + (x + 2) - (-(4x - 3)) = 3x - 2 + x + 2 + 4x - 3 = 8x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $16\sqrt{2}$

(2) $1$

(3) $\sqrt{5} - 1$

(4) $8x - 3$